SELFFIT - Mathematik - Integralrechnung - Flächenberechnung mittels Integration

Beispiel:

\(f(x)= \frac{1}{2}x^{2}+2; \; \; \; f(x)=x+6\)

Allgemeines Vorgehen: Zuerst ermittelt man durch das Gleichsetzen der Funktionsterme die Schnittstellen \(x_{i}\) der Kurven von \(𝑓(𝑥)\) und \(g(𝑥)\). Danach integriert man intervallweise, d.h. man berechnet die jeweiligen Teilflächen mittels der Formel:

\(\int_{x_{1}}^{x_{2}}(f(x)-g(x))\;\;dx\)

1. Ermitteln der Schnittstellen: \(\frac{1}{2}x^{^2}+2=x+6\) \(\frac{1}{2}x^{^2}-x-4 = 0\) \(x^{^2}-2x-8 = 0\) \(x_{\frac{1}{2}}=1\pm\sqrt{1+8}\)
\(x_{1}=-2;\;\;x_{2}=4\)

2. Gesucht ist die schraffierte Fläche, also:
\(A=\int_{-2}^{4}\left ( \left ( x+6 \right )-\left ( \frac{1}{2}x^{2}+2 \right ) \right )dx\)
\(A=\int_{-2}^{4}\left (  -\frac{1}{2}x^{2}+x+4 \right )dx\)
\(A=-\frac{1}{6}x^{3}+\frac{1}{2}x^{2}+4x\;\;\;|_{-2}^{4}\)
\(A=-\frac{64}{6}+8+16-\left ( \frac{8}{6}+2-8 \right )\)
\(A=-\frac{72}{6}+30=-12+30=\underline{\underline{18}}\)