Lineare Gleichungen mit einer Unbekannten

Hinweis: Lösen Sie die folgenden Gleichungen nach x auf und tragen Ihre Lösung entsprechend ein.

Beispielaufgabe 1:

$$8(3x - 2) - 7x$$$$= 13x + 5(12 - 3x)$$| Ausmultiplizieren 
$$24x - 16 -7x$$

$$= 13x + 60 - 15x$$

| Zusammenfassen

$$17x - 16$$$$= -2x + 60$$|$$+2x$$ und $$+16$$
$$19x$$$$=76$$|$$\div19$$
$$x$$$$=4$$ 

Beispielaufgabe 2:

\(\frac{3x + 4}{7} - \frac{9x + 44}{5}\)\(= \frac{5x + 12}{3} - \frac{9x + 30}{4}\)| \(\cdot 420\)

Vorbemerkung:

Zuerst sind die Brüche zu beseitigen, um wieder eine Gleichungsform wie bei dem ersten Beispiel zu erhalten. Das kann man auf unterschiedliche Weise durchführen, z. B. erst die Hauptnenner auf jeder Gleichungsseite bilden und dann mit dem Produkt beider Hauptnenner die Gleichung multiplizieren oder sofort mit dem Hauptnenner von 7, 5, 3 und 4, also $$kgV(7, 5, 3, 4) = 7 \cdot 5 \cdot 3 \cdot 2^{2} = 420$$.

Nachfolgend wird letztere Methode (Multiplikation mit 420) gewählt.

$$60(3x + 4) - 84(9x + 44)$$$$= 140(5x + 12) - 105(9x + 30)$$| Ausmultiplizieren
$$180x + 240 - 756x - 3696$$$$= 700x + 1680 - 945x - 3150$$| Zusammenfassen
$$-576x - 3456$$$$= -245x -1470$$| $$+ 245x$$ und $$+3456$$
$$-331x$$$$= 1986$$| $$\div (-331)$$ 
$$x$$$$= -6$$| Probe ausführen!

Aufgabe 1

Punkte: 1

Aufgabe:

$$\frac{x-8}{x-9} = \frac{x-5}{x-7}$$

Bemerkung:

Auch hier gilt wie bei Beispielaufgabe 2, zunächst die Brüche zu beseitigen. Der Hauptnenner der Binome $$(x-9)$$ und $$(x-7)$$ ist das Produkt beider, also $$(x-9) \cdot (x-7)$$.

Durch Multiplikation der Gleichung mit diesen Hauptnenner (und entsprechendem Kürzen) beseitigt man die Brüche. Das entspricht andererseits dem „Überkreuzmultiplizieren“, wobei zu beachten ist, dass nicht mit Ausdrücken multipliziert wird, die Null sind. Konkret heißt das hier:

$$x-9 \neq 0$$, also $$x \neq 9$$ und

$$x-7 \neq 0$$, also $$x \neq 7$$.

Mit anderen Worten: x = 7 und x = 9 scheiden als Lösung aus (diese Werte ließen sich auch durch die Probe wieder ausschließen, da eine Division durch 0 nicht gestattet ist bzw. die obigen Terme der Gleichung für x = 9 und x = 7 nicht definiert sind).

Lösung:

x =