$$\forall n\in \mathbb{N}:  \ \frac{(n+3)(n+4)}{(n+6)(n+2)} \le 1.$$

$$\forall x\in \mathbb{R}_{>0}: \ \sqrt[4]{\frac 1{x^4+5^4}}=\frac 1{x+5}.$$

$$\forall x,y\in \mathbb{R}: \ \sqrt{4x^2+y^2} =3x-y \ \Rightarrow \ 2y =  x .$$

$$\forall k\in \mathbb{N}: \ \frac{\frac{1}{2^k\cdot k!}}{\frac{1}{2^{k+1}\cdot (k+1)!}}=2(k+1).$$

$$(\sqrt{2})^\frac{1}{2}=2^\frac 14 .$$