Bedingte Wahrscheinlichkeiten
\(~\)
|
Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereigbnis \(A\) eintritt, unter der Bedingung, dass das Eintreten eines Ereignisses \(B\) bereits bekannt ist bzw. angenommen wird, wird als Wahrscheinlichkeit von \(A\) unter der Bedingung \(B\) verstanden. Schreibweise:
\(P_B(A)\) oder \(P(A|B)\). weitere Sprechweisen: "P von A unter der Bedingung B", "durch B bedingte Wahrscheinlichkeit von A". |
\(~\)
\(~\)
Laut der ersten Pfadregel ist nun
\(\displaystyle P(A\cap B)= P(A)\cdot P_{A}(B)\).
Das Ereignis \(A\cap B\) steht hierfür für den Fall, dass \(A\) und gleichzeitig \(B\) eintritt. (siehe Abschnitt "Zufallsexperimente")
\(~\)
Die zweite Pfadregel lässt sich nun mit den bedingten Wahrscheinlichkeiten wie folgt ausdrücken.
\(\displaystyle P(B)=P(A)\cdot P_{A}(B)+P(\bar A)\cdot P_{\bar A}(B)\).
Wir addieren also einfach die Wahrscheinlichkeiten aller Pfade, welche \(B\) enthalten.
\(~\)
Für eine größere Zerlegung \(A_1,\dots,A_n\) gilt natürlich entsprechend:
\(\displaystyle P(B)=P(A_1)\cdot P_{A_1}(B)+\dots+P(A_n)\cdot P_{A_n}(B)\).
Diese Verallgemeinerung der 2. Pfadregel ist auch als Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit bekannt!
\(~\)
|
BAYESsche Formel Die Bayessche Formel bzw. der Satz von Bayes besagt folgendes \(\displaystyle P_A(B)=\frac{P_B(A)\cdot P(B)}{P(A)}\). \(~\) ERKLÄRUNG: Diese lässt sich ganz einfach erklären. Einerseits gilt \(\displaystyle P(A\cap B)=P(A)\cdot P_A(B)\), wie oben bereits anhand des Baumdiagramms erklärt. Hätten wir das Baumdiagramm gewissermaßen anders herum konstruiert, würden wir entsprechend das folgende erhalten. \(\displaystyle P(A\cap B)=P(B)\cdot P_B(A)\). \(~\) Es gilt also \(\displaystyle P(A)\cdot P_A(B) = P(B)\cdot P_B(A)\). Daraus erhalten wir durch einfaches Umstellen die oben aufgeführte Formel von Bayes. |
\(~\)
|
Hier ein erstes einfaches Beispiel: In einer Urne befinden sich 50 Kugeln, von denen 20 aus Glas und 30 Holz sind.
Die Kugeln haben folgende Farben:
Wir definieren die folgenden Ereignisse:
Unter der Voraussetzung, dass eine Kugel aus Holz gezogen wird, so erwischen wir mit einer Wahrscheinlickeit von \(\frac{10}{30}=\frac 13\) eine grüne, d.h. \(\displaystyle P_B(A)=\frac 13\).
Die Wahrscheinlichkeit, dass eine grüne Kugel gezogen wird, kann mittels der 2. Pfadregel auch wie folgt berechnet werden: \(\displaystyle P(A)=\frac35\cdot\frac13+\frac25\cdot\frac34=\frac{1}{5}+\frac{3}{10}=\frac{5}{10}=\frac12\). |
\(~\)
|
Erklärung des Satzes von Bayes anhand des Beispiels:
Nach der ersten Pfadregel gilt
\(\displaystyle P(A\cap B)=P(B)\cdot P_B(A)=\frac 35\cdot\frac 13=\frac 15\). Zur Erinnerung:
Mit dem Satz von Bayes können wir nun \(P_A(B)\) ausrechnen. Dies entspricht der Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Kugel aus Holz gezogen wird, unter der Voraussetzung, dass es eine grüne Kugel ist. \(\displaystyle P_A(B)=\frac{P_B(A)\cdot P(A)}{P(B)}=\frac{\frac 13\cdot\frac 35}{\frac 12}=\frac 25\). \(~\) Mit ein wenig Nachdenken, wäre uns das auch so klar geworden: Von insgesamt 25 grünen Kugeln sind 10 aus Holz, also ist die gesuchte bedingte Wahrscheinlichkeit gleich \(\displaystyle\frac{10}{25}=\frac{2}{5}\).
|
\(~\)
|
Beispiel: Mit einem Test können Patienten auf eine gewisse Infektion geprüft werden. Das Infektionsrisiko betrage aktuell circa 5%.
Studien haben folgendes ergeben:
Wir bezeichnen nun die Ereignisse wie folgt:
Die folgenden Wahrscheinlichkeiten sind uns nun bekannt: \(P(A)=0.05\) und entsprechend \(P(\bar A)=1-0.05=0.95\). \(P_A(B)=0.95\) ... der Test fällt positiv aus, vorausgesetzt der Patient ist tatsächlich infiziert. \(P_{\bar A}(B)=0.01\) ... der Test fällt positiv aus, obwohl der Patient nicht infiziert ist. Wir können nun alles in einem Baumdiagramm zusammenfassen:
Frage: Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Patient von der Infektion betroffen ist, obwohl der Test negativ ausgefallen ist? Gesucht ist also die Wahrscheinlichkeit \(P_{\bar B}(A)\). Nach dem Satz von Bayes gilt \(\displaystyle P_{\bar B}(A)=\frac{P_{A}(\bar B)\cdot P(A)}{P(\bar B)}=\frac{0.05\cdot0.05}{0.05\cdot0.05+0.95\cdot0.99}\approx 0.00265\). Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Patient infiziert ist, obwohl der Test negativ ausgefallen ist, beträgt also sehr geringe 0.265%. Hinweis: Die Wahrscheinlichkeit von \(\bar B\) wurde einfach mit der zweiten Pfadregel berechnet. |
\(~\)
Stochastische Unabhängigkeit
\(~\)
Zwei Ereignisse \(A\) und \(B\) heißen stochastisch unabhängig, wenn
\(P_A(B)=P(B)\) bzw. \(P_B(A)=P(A)\)
gilt. Das bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit, ob \(B\) eintritt, nicht vom Eintreten des Ereignisses \(A\) beeinflusst wird.
Im Baumdiagramm veranschaulicht bedeutet das:
Egal ob \(A\) eingetreten ist oder nicht: Die WK für das Eintreten von \(B\) ist davon unabhängig (auf beiden Seiten des Baumdiagramms finden sich exakt die gleichen WK wieder).
\(~\)
Alternativ lässt sich die stochastische Unabhängigkeit wie folgt charakterisieren: \(A\) und \(B\) sind voneinander unabhängig, falls
\(P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)\)
gilt. Denn: \(P(A\cap B)=P(A)\cdot P_A(B)=P(A)\cdot P(B)\).
\(~\)
|
Beispiel: In einer Urne befinden sich 2 schwarze und 1 weiße Kugel. Es werden 2 Kugeln nacheinander zufällig gezogen - mit Zurücklegen!
Wir betrachten nun die folgenden Ereignisse:
Die beiden Ereignisse sind natürlich voneinander unabhängig, denn die Wahrscheinlichkeit, dass beim zweiten Mal eine schwarze Kugel gezogen wird, ist unabhängig davon, ob beim ersten Mal eine weiße Kugel gezogen wurde oder nicht. (Es wird zurück gelegt!)
Die Wahrscheinlichkeiten auf der linken Seite sind exakt die gleichen wie die, die auf der rechten Seite zu finden sind. Es gilt \(\displaystyle P_A(B)=P(B)=\frac23\).
Würde das gleiche Experiment durchgeführt - ohne Zurücklegen - wären die Ereignisse nicht mehr voneinander unabhängig.
Im Baumdiagramm haben wir jetzt auf der linken und rechten Seite unterschiedliche Wahrscheinlichkeiten stehen. Es gilt \(P_A(B)=1\) ... wenn beim ersten Mal eine weiße Kugel gezogen wurde, kann beim 2. Mal nur eine schwarze Kugel gezogen werden, da nicht zurück gelegt wird. Wir haben außerdem \(\displaystyle P(B)=\frac 13\cdot1+\frac23\cdot\frac12=\frac 23\neq P_A(B)\). |
\(~\)
|
Beispiel: In einer Urne befinden sich 2 schwarze und 1 weiße Kugel. Es werden 2 Kugeln nacheinander zufällig gezogen - mit Zurücklegen!
Wir betrachten nun diese Ereignisse:
Diese beiden Ereignisse sind nicht unabhängig! Es gilt
Da \(P_A(B)\neq P(B)\) ist, sind die beiden Ereignisse also nicht stochastisch unabhängig. |
\(~\)
|
Übung: Führe den Selbsttest zum Thema Bedingte Wahrscheinlichkeiten durch! |
\(~\)
