Parameterdarstellung

Eine Ebene \(E\) im \(\mathbb R^3\) lässt sich allgemein wie folgt darstellen.

\(E: \vec x(s,t)=\vec a+s\cdot\vec b +t\cdot\vec c\), \(\quad s,t\in\mathbb R\),

wobei \(\vec b\) und \(\vec c\) linear unabhängig sind.

Wir bezeichnen \(\vec a\) als Stützvektor sowie \(\vec b\) und \(\vec c\) als Richtungsvektoren der Ebene.

\(~\)

Diese Darstellung gleicht der einer Geraden, ergänzt um einen zweiten Parameter + Richtungsvektor.

Durch Einsetzen von verschiedenen Werten für \(s\) und \(t\) erhalten wir Koordinaten von Punkten, welche auf der Ebene liegen.

Ebene durch drei Punkte

Es seien drei Punkte \(A\), \(B\) und \(C\) gegeben. Als Stützvektor der Ebene setzen wir einen Ortsvektor der drei Punkte ein, z.B. \(\vec a=\vec{OA}\). Sind nun die beiden Vektoren \(\vec{AB}\) und \(\vec{AC}\) linear unabhängig, dann spannen die 3 Punkte eine Ebenen auf. Als Richtungsvektoren können wir \(\vec b=\vec{AB}\) und \(\vec c=\vec{AC}\) wählen.

Beispiel

Es seien die Punkte \(A(1,2,3)\), \(B(2,0,2)\) und \(C(1,3,0)\) gegeben.

Spannen die drei Punkte eine Ebene auf? Wenn ja, dann ist eine Darstellung dieser Ebene zu bestimmen.

Die beiden Vektoren \(\vec{AB}=\begin{pmatrix}1\\-2\\-1\end{pmatrix}\) und \(\vec{AC}=\begin{pmatrix}0\\1\\-3\end{pmatrix}\) sind linear unabhängig.

Die drei Punkte spannen also eine Ebene auf. Diese lässt sich wie folgt darstellen.

Als Stützvektor wählen wir \(\vec{OA}=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}\). Als Richtungsvektoren setzen wir \(\vec{AB}\) und \(\vec{AC}\) ein.

\(E: \vec x(s,t)=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix}1\\-2\\-1\end{pmatrix} +t\cdot\begin{pmatrix}0\\1\\-3\end{pmatrix}\).

Normalform und Parameterfreie Darstellung

Es sei die Ebene \(E: \vec x(s,t)=\vec a+s\cdot\vec b +t\cdot\vec c\) gegeben.

Angenommen, ein neuer Vektor \(\vec n\) steht senkrecht auf den beiden Richtungsvektoren \(\vec b\) und \(\vec c\).

Zur Erinnerung: Dies ist gleichbedeutend damit, dass \(\vec n\circ\vec b=0\) und \(\vec n\circ\vec c=0\).

Einen solchen Vektor nennen wir Normalenvektor der Ebene.

\(~\)

Wenn wir bei der Gleichung \(\vec x(s,t)=\vec a+s\cdot\vec b +t\cdot\vec c\) nun auf beiden Seiten \(\circ \vec n\) rechnen, erhalten wir folgendes.

\(~\)

\(\vec x(s,t)\circ n=\vec a\circ n+s\cdot \underbrace{(\vec b\circ n)}_{=0} +t\cdot\underbrace{(\vec c\circ\vec n)}_{=0}\).

\(~\)

Da die beiden Skalarprodukte auf der rechten Seite \(=0\) sind, ist diese neue Darstellung also parameterfrei.

Wir können die Ebene nun in dieser Form schreiben:

\(E: \vec x\circ\vec n=\vec a\circ n\quad\) bzw. \(\quad E: (\vec x-\vec a)\circ\vec n=0\).

Diese Form wird nun Normalform der Ebene genannt.

Der Vektor \(\vec a\) ist nachwievor der Orstvektor eines beliebigen Punktes, welcher auf der Ebene liegt.

\(~\)

Wenn wir die Normalform etwas umschreiben, erhalten wir

\(E: n_1x_1+n_2x_2+n_3x_3=\underbrace{n_1a_1+n_2a_2+n_3a_3}_{\text{das ist eine Zahl}}\).

Häufig verwendet man statt \(x_1,x_2,x_3\) die 3 Variablennamen \(x,y,z\).

Die erhaltene Darstellung wird allgemein als parameterfreie Form der Ebene bezeichnet.

"Rezept": Umwandlung der Parameterdarstellung in die parameterfreie Darstellung.

Gegeben: \(E: \vec x(s,t)=\vec a+s\cdot\vec b +t\cdot\vec c\).

• Berechne einen Vektor \(\vec n\) (Normalenvektor), welcher auf den beiden Richtungvektoren senkrecht steht.
  Zum Beispiel über das Kreuzprodukt: \(\vec n=\vec b\times\vec c\).

• Die Ebene lässt sich nun in der Form \(E: n_1x_1+n_2x_2+n_3x_3=d\) schreiben.

• Bestimme \(d\) durch Einsetzen eines Punktes der Ebene.
  Setze z.B. die Koordinaten des Stützvektors ein: \(d=n_1a_1+n_2a_2+n_3a_3\).

Nun haben wir eine parameterfreie Darstellung

\(E: n_1x_1+n_2x_2+n_3x_3=d\).

Beispiel:

\(E: x(s,t)=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}\).

• Berechne einen Normalenvektor: \(\vec n=\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1\\-1\\-1\end{pmatrix}\).

• Die Ebene kann also wiefolgt dargestellt werden: \(E:1\cdot x_1+(-1)\cdot x_2+(-1)\cdot x_3=x_1-x_2-x_3=d\).

• Wir bestimmen \(d\), indem wir den Punkt \((1,2,3)\) einsetzen: \(d=1-2-3=-4\).

Eine parameterfreie Darstellung ist also gegeben durch

\(E:x_1-x_2-x_3=-4\).

Lagebeziehungen: Punkt - Ebene

Gegeben sei ein Punkt \(P(p_1,p_2,p_3)\) und eine Ebene \(E: ax_1+bx_2+cx_3=d\).

Der Punkt \(P\) liegt auf der Ebene \(E\), wenn \(ap_1+bp_2+cp_3=d\) gilt.

Andernfalls gehört der Punkt \(P\) nicht zur Ebene \(E\).

Lagebeziehungen: Gerade - Ebene

Gegeben sei eine Gerade \(g:\begin{pmatrix}x_1(t)\\x_2(t)\\x_3(t)\end{pmatrix}=\vec s+t\cdot \vec r\) und eine Ebene \(E: ax_1+bx_2+cx_3=d\).

Um herauszufinden, wie \(g\) und \(E\) zueinander liegen, setzen wir die 3 Komponenten der Geraden in die Ebenengleichung ein.

Dies führt zur Gleichung \(\quad a(s_1+r_1t)+b(s_2+r_2t)+c(s_3+r_3t)=d\).

Die folgenden drei Fälle können nun eintreten.

• Die Gleichung \(a(s_1+r_1t)+b(s_2+r_2t)+c(s_3+r_3t)=d\) ist niemals erfüllt.
  Dann verläuft die Gerade \(g\) parallel zur Ebene \(E\).

• Die Gleichung \(a(s_1+r_1t)+b(s_2+r_2t)+c(s_3+r_3t)=d\) ist für genau einen Wert von \(t\) erfüllt.
  Dann schneidet die Gerade \(g\) die Ebene \(E\) in genau einem Punkt.
  Den Schnittpunkt erhält man, indem man den errechneten Wert für \(t\) in die Geradengleichung einsetzt.

• Die Gleichung \(a(s_1+r_1t)+b(s_2+r_2t)+c(s_3+r_3t)=d\) ist immer erfüllt.
  Dann liegt die Gerade \(g\) in der Ebene \(E\).
  

Beispiel:

Gegeben sei die Gerade \(g:\begin{pmatrix}x_1(t)\\x_2(t)\\x_3(t)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\1\\2\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}5\\-1\\-1\end{pmatrix}\) und die Ebene \(E:x_1+2x_2+3x_3=5\).

Wir setzen die drei Komponenten der Geraden \(g\) in die Ebenengleichung von \(E\) ein und erhalten

\((2+5t)+2(1-t)+3(2-t)=5 \iff 2+5t+2-2t+6-3t=5 \iff 10 =5\). Dies ist ein Widerspruch.

Die Gleichung ist niemals erfüllt, daher verläuft die Gerade \(g\) parallel zur Ebene \(E\).

Beispiel:

Gegeben sei die Gerade \(g:\begin{pmatrix}x_1(t)\\x_2(t)\\x_3(t)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}5\\-1\\-1\end{pmatrix}\) und die Ebene \(E:x_1+2x_2+3x_3=5\).

Wir setzen die drei Komponenten der Geraden \(g\) in die Ebenengleichung von \(E\) ein und erhalten

\((0+5t)+2(1-t)+3(1-t)=5 \iff 5t+2-2t+3-3t=5 \iff 5 =5\).

Die Gleichung ist immer erfüllt, d.h. die Gerade \(g\) liegt in der Ebene \(E\).

Beispiel:

Gegeben sei die Gerade \(g:\begin{pmatrix}x_1(t)\\x_2(t)\\x_3(t)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\3\\3\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}\) und die Ebene \(E:x_1+2x_2+3x_3=5\).

Wir setzen die drei Komponenten der Geraden \(g\) in die Ebenengleichung von \(E\) ein und erhalten

\((1+t)+2(3+2t)+3(3+2t)=5 \iff 1+t+6+4t+9+6t=5 \iff 11t+16=5 \iff t=-1\).

Die Gerade \(g\) schneidet die Ebene \(E\) im Punkt \(S(0,1,1)\).

Lagebeziehungen: Ebene - Ebene

Gegeben seien zwei Ebenen \(E_1: a_1 x_1+b_1 x_2+c_1 x_3=d_1\) und \(E_2: a_2 x_1+b_2 x_2+c_2 x_3=d_2\) in Koordinatenform.

Um herauszufinden, wie \(E_1\) und \(E_2\) zueinander liegen unterscheidet man die folgenden drei Fälle:

Fall 1: Die Normalenvektoren \(\begin{pmatrix}a_1\\b_1\\c_1\end{pmatrix}\) und \(\begin{pmatrix}a_2\\b_2\\c_2\end{pmatrix}\) sind linear unabhängig. Dann scheiden sich die Ebenen \(E_1\) und \(E_2\) in einer Schnittgeraden. Diese Schnittgerade erhält man durch lösen des aus den Ebenengleichungen bestehenden LGS. Dabei muss man einen freien Parameter wählen. (Siehe im folgenden Beispiel.)

Fall 2: Die Normalenvektoren \(\begin{pmatrix}a_1\\b_1\\c_1\end{pmatrix}\) und \(\begin{pmatrix}a_2\\b_2\\c_2\end{pmatrix}\) sind linear abhängig aber die Vektoren \(\begin{pmatrix}a_1\\b_1\\c_1\\d_1\end{pmatrix}\) und \(\begin{pmatrix}a_2\\b_2\\c_2\\d_2\end{pmatrix}\) sind linear unabhängig. Dann liegen die Ebenen \(E_1\) und \(E_2\) parallel zueinander.

Fall 3: Die Vektoren \(\begin{pmatrix}a_1\\b_1\\c_1\\d_1\end{pmatrix}\) und \(\begin{pmatrix}a_2\\b_2\\c_2\\d_2\end{pmatrix}\) sind linear abhängig. Dann sind die Ebenen \(E_1\) und \(E_2\) identisch.

Beispiel:

Gegeben seien die Ebenen \(E_1:x_1+2x_2+3x_3=5\), \(E_2:-3x_1-6x_2-9x_3=-15\), \(E_3:-3x_1-6x_2-9x_3=9\) und \(E_4:2x_1+3x_2+2x_3=7\),

Die Ebenen \(E_1\) und \(E_2\) sind identisch, da \( \begin{pmatrix}1\\2\\3\\5\end{pmatrix} = (-\frac{1}{3}) \cdot \begin{pmatrix}-3\\-6\\-9\\-15\end{pmatrix} \).

Die Ebenen \(E_1\) und \(E_3\) sind parallel, da \(\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix} = (-\frac{1}{3}) \cdot \begin{pmatrix}-3\\-6\\-9\end{pmatrix} \), aber \(5 \neq (-\frac{1}{3}) \cdot 9 =-3\).

Die Ebenen \(E_1\) und \(E_4\) schneiden sich, da \(\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix} = r \cdot \begin{pmatrix}2\\3\\2\end{pmatrix} \) für keine reelle Zahl \(r\) lösbar ist, denn es gilt: \(\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2r\\3r\\2r\end{pmatrix} \Rightarrow \begin{array}{} r=\tfrac{1}{2} \\ r=\tfrac{2}{3} \\ r=\tfrac{3}{2} \end{array}\).

Berechnung der Schnittgeraden von \(E_1\) und \(E_4\):

Wir erhalten das LGS \(\begin{array}{}  E_1:x_1+2x_2+3x_3=5 \\ E_4:2x_1+3x_2+2x_3=7 \end{array}\).

Dieses LGS vereinfachen wir mit \(2 \cdot E_1 - E_4 \) zu einer Gleichung \(x_2+4x_3=3\). (Alternativ könnte man auch eine Gleichung nach einer Variablen umstellen und dann in die andere Gleichung einsetzen.)

Nach \(x_2\) umstellen liefert uns \(x_2=3-4x_3\). (Da wir ein LGS mit 2 Gleichungen und 3 Unbekannten lösen und dieses (da sich die Ebenen schneiden) Lösungen besitzt brauchen wir 1 Parameter für die Lösung.) Wir wählen \(x_3=t\) als freien Parameter und erhalten \(x_2=3-4t\). Einsetzen in \(E_1\) liefert \(x_1 = -2(3-4t)-3t+5 = -1 +5t\).

Damit erhalten wir \(\begin{array}{}  x_1(t) = -1 &+ &5t \\ x_2(t) = 3 &- &4t \\ x_3(t) = & &t \end{array}\) und folglich die Schnittgeradengleichung \(\begin{pmatrix}  x_1(t) \\ x_2(t) \\ x_3(t) \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} +t \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ -4 \\ 1 \end{pmatrix}\).

Lagebeziehungen: Ebene - Ebene

Wir können die Lagebeziehungen zwischen Ebenen auch in Parameterform berechnen. Dabei werden die Ebenengleichungen gleichgesetzt und es entsteht ein Lineares Gleichungssystem mit 3 Gleichungen und 4 Unbekannten. Bei der Lösung dieses LGS erhalten wir entweder keine Lösung, falls die Ebenen parallel sind, oder die Lösung ist von Parametern abhängig. Falls die Lösung von einem Parameter abhängt, schneiden sich die Ebenen und falls die Lösung von zwei Parametern abhängig ist, erhalten wir eine Ebenengleichung als Lösung, d.h. sie sind identisch.

Lotfußpunkt und Abstand eines Punktes zu einer Ebene

Gegeben sei ein Punkt \(P(p_1,p_2,p_3)\) und eine Ebene \(E: ax_1+bx_2+cx_3=d\).

Der Lotfußpunkt auf \(E\) zum Punkt \(P\) ist derjenige Punkt auf \(E\), welcher zu \(P\) den geringsten Abstand hat.

Diesen können wir wie folgt berechnen:

Wir wissen, dass der Vektor \(\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}\) senkrecht zur Ebene \(E\) steht.

Die Gerade

\(g: \begin{pmatrix}x_1(t)\\x_2(t)\\x_3(t)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}p_1\\p_2\\p_3\end{pmatrix}+t\cdot \begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}\) schneidet die Ebene \(E\) also im rechten Winkel und geht gleichzeitig durch den Punkt \(P\).

Der Schnittpunkt von \(g\) und \(E\) entspricht gerade dem gesuchten Lotfußpunkt.

Wir stellen also zunächst die Gleichung \(a(p_1+ta)+b(p_2+tb)+c(p_3+tc)=d\) um und setzen den erhaltenen Wert für \(t\) in \(g\) ein.

Der Abstand von \(P\) zum berechneten Lotfußpunkt entspricht gerade dem Abstand von \(P\) zur Ebene \(E\).

Alternativ:

Die Hessesche Normalform einer Ebene wird durch den gerichteten Normaleneinheitsvektor \(\vec n_0\) und den Abstand zum Ursprung \(d\) charakterisiert: \(E: \vec x \circ \vec n_0 -d = 0\)

Man erhält diese Darstellung leicht aus der Normalform durch normieren des Normalenvektors und einsetzen eines zulässigen Punktes der Ebene.

Der Abstand eines Punktes \(P\) zur Ebene lässt sich durch einsetzen in die linke Seite der Hesseschen Normalform \(d(P,E) = \vec x \circ \vec n_0 - d\) effizient berechnen. Dieser Abstand ist vorzeichenbehaftet. Bei positiven Vorzeichen liegt der Punkt im selben Halbraum in den der Normalenvektor zeigt, sonst im anderen.

Beispiel:

Gegeben sei die Ebene \(E:2x_1-3x_2+4x_3=1\) und der Punkt \(P(-4,7,-7)\), welcher offenbar nicht auf \(E\) liegt.

Gesucht ist der Abstand von \(P\) zu \(E\) und der Punkt auf \(E\), welcher zu \(P\) am nächsten liegt (Lotfußpunkt).

\(~\)

Die Gerade \(g:\begin{pmatrix}x_1(t)\\x_2(t)\\x_3(t)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-4\\7\\-7\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}2\\-3\\4\end{pmatrix}\)

geht durch den Punkt \(P\) und durchstößt \(E\) im rechten Winkel.

Wir setzen die 3 Koordinaten der Geraden in die Ebenengleichung ein:

\(2(-4+2t)-3(7-3t)+4(-7+4t)=1\iff -8+4t-21+9t-28+16t=1\iff 29t=58\iff t=2\).

Der gesuchte Lotfußpunkt ist also \(L(0,1,1)\).

Der Abstand von \(P\) zur Ebene \(E\) ist

\(|\vec{LP}|=\sqrt{(-4-0)^2+(7-1)^2+(-7-1)^2}=\sqrt{16+36+64}=\sqrt{116}=\sqrt{4\cdot 29}=2\sqrt{29} \approx 10.7703\).

Alternativ:

Aus der Normalform der Ebene \(E:2x_1-3x_2+4x_3=1\) erhalten wir den Normalenvektor \(\vec n = \begin{pmatrix}2\\-3\\4\end{pmatrix}\) und durch normieren den Normaleneinheitsvektor \(\vec n_0 = \frac{\vec n}{|\vec n|} =  \frac{1}{\sqrt{29}}\begin{pmatrix}2\\-3\\4\end{pmatrix} \approx \begin{pmatrix}0.3714\\-0.5571\\0.7428\end{pmatrix}\).

Wir wählen einen Punkt aus der Ebene z.B. \(Q(\frac{1}{2},0,0)\) und erhalten durch Einsetzen in die linke Seite der Hessenormalform den Parameter \(d = \vec{OQ} \circ  \vec n_0 \approx 0.1857\).

Nun haben wir die Hessenormalform \(E: \vec x \circ \begin{pmatrix}0.3714\\-0.5571\\0.7428\end{pmatrix} - 0.1857 = 0\) gegeben.

Einsetzen des Punktes P liefert: \(\begin{pmatrix}-4\\7\\-7\end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix}0.3714\\-0.5571\\0.7428\end{pmatrix} - 0.1857 \approx -10.7703\)

Abstand einer Ebene zu einer parallelen Gerade

Jeder Punkt der Geraden hat zur Ebene den gleichen Abstand. Also berechnet man analog wie oben für einen beliebigen Punkt der Gerade den Abstand zur Ebene.

Abstand zweier paralleler Ebenen

Jeder Punkt der Ebene \(E_2\) hat zur Ebene \(E_1\) den gleichen Abstand. Also berechnet man analog wie oben für einen beliebigen Punkt der der Ebene \(E_1\) den Abstand zur Ebene \(E_2\).

Schnittwinkel zwischen einer Geraden und einer Ebene

Gegeben seien eine Gerade \(g:\begin{pmatrix}x_1(t)\\x_2(t)\\x_3(t)\end{pmatrix}=\vec s+t\cdot \vec r\) und eine Ebene \(E: ax_1+bx_2+cx_3=d\), die sich in genau einen Punkt schneiden. Der Schnittwinkel \(\varphi\) zwischen der Geraden \(g\) und der Ebene \(E\) bezeichnet den Winkel zwischen der Geraden \(g\) und der senkrechten Projektion \(g_E\) des Richtungsvektors \(\vec r\) auf die Ebene.   Anstelle von \(\varphi\) berechnen wir den Winkel \(\psi = 90° - \varphi\) mithilfe des Skalarproduktes. Wir wissen bereits \(\vec n\circ\vec r=|\vec n|\cdot|\vec r|\cdot \cos \sphericalangle(\vec n,\vec r) = |\vec n|\cdot|\vec r|\cdot \cos (\psi)\).  Damit der zwischen \(\vec n\) und \(\vec r\) liegende Winkel spitz ist verwendet man den Betrag des Skalarproduktes (,denn in der nebenstehenden Abbildung könnte die Gerade auch mit \(-\vec r\) gegeben sein). Umstellen liefert dann \(\cos (\psi) = \frac{|\vec n ~ \circ ~ \vec r|}{|\vec n|\cdot|\vec r|}\). Da \(\cos (\psi) = \cos(90°-\varphi) = \sin(\varphi) \) erhalten wir die folgende Formel zur Berechnung des Schnittwinkels zwischen Gerade und Ebene: \(\sin(\varphi) = \frac{|\vec n ~ \circ ~ \vec r|}{|\vec n| \cdot |\vec r|}\)

Beispiel:

Gegeben sei die Gerade \(g:\begin{pmatrix}x_1(t)\\x_2(t)\\x_3(t)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\3\\3\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}\) und die Ebene \(E:x_1+2x_2+3x_3=5\).

Da sich die beiden schneiden (im Beispiel weiter oben gezeigt), berechnen wir den Schnittwinkel zwischen Gerade und Ebene nun einfach mit der obigen Formel:

\(\sin(\varphi) = \frac{\bigg|\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}\bigg|}{\bigg|\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}\bigg| \cdot \bigg|\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}\bigg|} = \frac{11}{3 \cdot \sqrt{14}}\)

und daraus folgt \(\varphi = \arcsin(\frac{11}{3 \cdot \sqrt{14}}) \approx 78.5°\)

Schnittwinkel zwischen zwei Ebenen

Gegeben seien zwei sich schneidende Ebenen \(E_1: a_1 x_1+b_1 x_2+c_1 x_3=d_1\) und \(E_2: a_2 x_1+b_2 x_2+c_2 x_3=d_2\) in Koordinatenform mit den Normalenvektoren \(\vec n_1 = (a_1,b_1,c_1)^T\) und \(\vec n_2 = (a_2,b_2,c_2)^T\). Sei \(\varphi\) der Schnittwinkel zwischen den Ebenen \(E_1\) und \(E_2\). Dann ergibt sich aus nebenstehender Abbildung \(\gamma = 90° - \varphi\). Außerdem sei \(\psi\) der Winkel zwischen den Normalenvektoren der zwei Ebenen. Dann ergibt sich ebenfalls aus der nebenstehenden Abbildung \(\gamma = 90°-\psi\) und damit gilt \(\varphi = \psi\). Mit den selben Ideen wie oben ergibt sich die Berechnungsvorschrift für den Schnittwinkel zwischen zwei Ebenen: \(\cos (\varphi) = \frac{|\vec n_1 ~ \circ ~ \vec n_2|}{|\vec n_1|\cdot|\vec n_2|}\).

Beispiel:

Gegeben seien die Ebenen \(E_1:x_1+2x_2+3x_3=5\) und \(E_4:2x_1+3x_2+2x_3=7\)

Da sich die beiden Ebenen schneiden (im Beispiel weiter oben gezeigt), berechnen wir den Schnittwinkel zwischen den Ebenen nun einfach mit der obigen Formel:

\(\cos(\varphi) = \frac{\bigg|\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix}2\\3\\2\end{pmatrix}\bigg|}{\bigg|\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}\bigg| \cdot \bigg|\begin{pmatrix}2\\3\\2\end{pmatrix}\bigg|} = \frac{14}{\sqrt{14} ~ \cdot ~ \sqrt{17}}\)

und daraus folgt \(\varphi = \arccos(\frac{14}{\sqrt{14} ~ \cdot ~ \sqrt{17}}) \approx 24.8°\)

Übung:

Bearbeite den dritten Selbsttest zum Thema Analytische Geometrie!