Exponentialfunktionen
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Eine Funktion der Form \(f(x)=a^x\) bezeichnen wir als Exponentialfunktion.
Wir setzen voraus, dass \(a>0\) und zugleich \(a\neq 1\) gilt (wie im Abschnitt zu Logarithmen).
Die Funktion \(f(x)=a^x\) ist dann für alle \(x\in\mathbb R\) definiert, d.h. der Definitionsbereich ist \(\mathbb R\).
Die Funktionswerte selbst können jedoch nur Werte \(>0\) annehmen, d.h. der Wertebereich ist \((0,\infty)\).
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Beispiel: Die Funktion \(f(x)=2^x\). |
\(\qquad\) |
Beispiel: Die Funktion \(f(x)=\left(\frac 12\right)^x=\frac{1}{2^x}=2^{-x}\). |
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Wir wollen den Graphen dieser Funktion zeichnen.
Dazu berechnen wir zunächst ein paar "einfache" Funktionswerte:
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| \(x=\) |
\(-3\) |
\(-2\) |
\(-1\) |
\(\;0\;\) |
\(\;1\;\) |
\(\;2\;\) |
\(\;3\;\) |
| \(f(x)=\) |
\(\frac 18\) |
\(\frac 14\) |
\(\frac 12\) |
\(1\) |
\(2\) |
\(4\) |
\(8\) |
\(~\)
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Wir wollen den Graphen dieser Funktion zeichnen.
Dazu berechnen wir zunächst ein paar "einfache" Funktionswerte:
\(~\)
| \(x=\) |
\(-3\) |
\(-2\) |
\(-1\) |
\(\;0\;\) |
\(\;1\;\) |
\(\;2\;\) |
\(\;3\;\) |
| \(f(x)=\) |
\(8\) |
\(4\) |
\(2\) |
\(1\) |
\(\frac12\) |
\(\frac14\) |
\(\frac18\) |
\(~\)
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Eigenschaften:
- Die Funktion ist für alle \(x\in\mathbb R\) definiert.
- Es werden nur Werte \(>0\) angenommen.
- \(f(0)=1\)
- Wird \(x\) größer, so wächst auch der Funktionswert (monoton wachsend).
- Wenn \(x\) gegen \(-\infty\) läuft, so nähert sich \(f\) dem Wert \(0\).
- Wenn \(x\) gegen \(\infty\) läuft, so nähert sich \(f\) dem Wert \(\infty\).
- Entspricht der Spiegelung der Funktion \(2^{-x}\) an der \(y\)-Achse.
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Eigenschaften:
- Die Funktion ist für alle \(x\in\mathbb R\) definiert.
- Es werden nur Werte \(>0\) angenommen.
- \(f(0)=1\)
- Wird \(x\) größer, so wird der Funktionswert kleiner (monoton fallend).
- Wenn \(x\) gegen \(-\infty\) läuft, so nähert sich \(f\) dem Wert \(\infty\).
- Wenn \(x\) gegen \(\infty\) läuft, so nähert sich \(f\) dem Wert \(0\).
- Entspricht der Spiegelung der Funktion \(2^{x}\) an der \(y\)-Achse.
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Allgemein gelten folgende Eigenschaften für Funktionen der Form \(f(x)=a^x\).
(... analog zu obigem Beispiel)
| Fall 1: \(a>1\) |
\(\qquad\) |
Fall 2: \(0<a<1\) |
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Eigenschaften:
- Die Funktion ist für alle \(x\in\mathbb R\) definiert.
- Es werden nur Werte \(>0\) angenommen.
- \(f(0)=1\)
- Die Funktion ist monoton wachsend.
- Wenn \(x\) gegen \(-\infty\) läuft, so nähert sich \(f\) dem Wert \(0\).
- Wenn \(x\) gegen \(\infty\) läuft, so nähert sich \(f\) dem Wert \(\infty\).
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Eigenschaften:
- Die Funktion ist für alle \(x\in\mathbb R\) definiert.
- Es werden nur Werte \(>0\) angenommen.
- \(f(0)=1\)
- Die Funktion ist monoton fallend.
- Wenn \(x\) gegen \(-\infty\) läuft, so nähert sich \(f\) dem Wert \(\infty\).
- Wenn \(x\) gegen \(\infty\) läuft, so nähert sich \(f\) dem Wert \(0\).
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Bemerkung: Die Funktionengraphen auf der rechten (bzw. linken) Seite ergeben sich jeweils den Graphen auf der linken (bzw. rechten) Seite durch Spiegelung an der \(y\)-Achse.
Begründung/ Beispiel: Es gilt \(2^x=\left(\frac 12\right)^{-x}\) bzw. \(\left(\frac 12\right)^{x}=2^{-x}\). |
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Es gibt noch eine ganz besondere Exponentialfunktion, nämlich \(f(x)=\mathrm e^x\), wobei \(\mathrm e\) die Eulersche Zahl ist.
Die Eulersche Zahl \(\mathrm e\) ist eine irrationale Zahl. Es gilt \(\mathrm e\approx 2.718281828459045\).
Der Graph der Funktion \(f(x)=\mathrm e^x\) verläuft demnach zwischen den Graphen von \(f(x)=2^x\) und \(f(x)=3^x\).
Warum diese Funktion so besonders ist, werden wir im Abschnitt zur Differentialrechnung sehen.
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Hier gibt es nochmal ein anschauliches Video zur Erklärung der Exponentialfunktionen:
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