Eine Funktion ist eine eindeutige Abbildung von ihrer Definitionsmenge \(D_f\) in die Zielmenge \(Y\).

Der Wertebereich \(W_f\) der Funktion \(f\) umfasst alle Elemente in \(Y\), welche die Funktion als Werte annimmt.

Im Bild rechts beinhaltet die Zielmenge \(Y\) vier verschiedene Elemente.
Jedoch werden nur die Elemente \(y_1,y_2\) und \(y_3\) auch als Funktionswerte angenommen und bilden damit den Wertebereich.

Eindeutig bedeutet, dass jedem Element des Defintionsbereiches nur genau ein Wert zugeordnet werden darf.
Es ist jedoch erlaubt, dass ein Wert mehrmals als Funktionswert angenommen wird.
Beispielsweise ist im vorliegenden Beispiel \(f(x_1)=y_1\) und auch \(f(x_3)=y_1\).

\(~\)

Im einfachsten Falle sind Definitions- und Wertebereich Teilmengen der reellen Zahlen \(\mathbb R\).

In diesem Fall können wir Funktionen leicht graphisch darstellen.

Auf der horizontalen Achse (\(x\)-Achse) werden die Elemente des Defitionsbereiches abgetragen.

Auf der \(y\)-Achse werden die zugeordneten Funktionswerte abgetragen.

Die Funktion \(f(x)=x^2\) beispielsweise ordnet einer Zahl \(x\) ihr Qudrat \(x^2\) zu.

Da \(x^2\) stets größer oder gleich Null ist, ist der Wertebereich gerade \(W_f=[0,\infty)\).

Das Quadrat kann man für alle reelle Zahlen bilden, d.h. der (maximal mögliche) Definitionsbereich ist \(X=\mathbb R\).

Beispielsweise ist:

• \(f(2)=4\)
• \(f(-2)=4\)
• \(f(3)=9\)

Jedem \(x\) wird eindeutig ein Funktionswert zugeordnet.

Es ist aber durchaus erlaubt, dass zwei verschiedene \(x\) den gleichen Funktionswert haben.

Die Funktion \(f(x)=x^2\) nimmt beispielsweise für \(2\) und \(-2\) den gleichen Wert an: \(f(2)=f(-2)=4\).

\(~\)

So sieht der Funktionsgraph der Funktion aus:

Der Graph einer Funktion ist die Menge aller Punkte \((x,f(x))\), wobei \(x\) den gesamten Definitionsbereich durchläuft.

Der Graph der Funktion \(f(x)=x^2\) enthält beispielsweise die Punkte

\((-3,9), (-2,4), (-1,1), (0,0), (1,1), (2,4), (3,9)\) usw.

Verschiebung des Funktionsgraphen

Im folgenden seien eine Funktion \(f\) und ein Faktor \(c>0\) gegeben.

\(~\)

Stauchung und Streckung des Funktionsgraphen

Im folgenden sei eine Funktion \(f\) sowie eine Zahl \(c\neq0\) gegeben.

\(~\)

Stauchung/ Streckung in \(x\)-Richtung	\(\qquad\qquad\)	Stauchung/ Streckung in \(y\)-Richtung
Der Graph der Funktion \(f(c\cdot x)\) entspricht einer Stauchung der Funktion \(f\) in \(x\)-Richtung, wenn \(|c|>1\) einer Streckung der Funktion \(f\) in \(x\)-Richtung, wenn \(|c|<1\)		Der Graph der Funktion \(c\cdot f(x)\) entspricht einer Stauchung der Funktion \(f\) in \(y\)-Richtung, wenn \(|c|<1\) einer Streckung der Funktion \(f\) in \(y\)-Richtung, wenn \(|c|>1\)
Beispiel:		Beispiel:
Der Graph der roten Funktion \(f(2x)\) entspricht dem von \(f\) um den Faktor \(2\) in \(x\)-Richtung gestaucht.		Der Graph der roten Funktion \(2\cdot f(x)\) entspricht dem von \(f\) um den Faktor \(2\) in \(y\)-Richtung gestreckt.
Der Graph der gelben Funktion \(f(\frac x2)\) entspricht dem von \(f\) um den Faktor \(2\) in \(x\)-Richtung gestreckt.		Der Graph der gelben Funktion \(\frac12\cdot f(x)\) entspricht dem von \(f\) um den Faktor \(2\) in \(y\)-Richtung gestaucht.

\(~\)

Achtung, bei einigen Funktionen lassen sich Streckung in \(x\)- und in \(y\)-Richtung gar nicht unterscheiden.

Beispielsweise gilt für die Funktion \(f(x)=x^2\) folgendes:

\(\quad f(c\cdot x)=(c\cdot x)^2=c^2\cdot x^2=c^2\cdot f(x)\).

Jede Streckung/Stauchung in \(x\)-Richtung ist also zugleich eine Stauchung/Streckung in \(y\)-Richtung.

Übung:

Verschiebung sowie Streckung und Stauchung kann man sich leicht an einem geeigneten Beispiel verdeutlichen.

Nimm beispielsweise die Funktion \(f(x)=x^2+1\) und zeichne die Funktionen

\(f(x), f(x)\pm 2, f(x\pm 2), 2\cdot f(x), \frac12\cdot f(x), f(2x), f(\frac x2)\).

Erfasse dazu zunächst einige Funktionswerte tabellarisch, zum Beispiel wie folgt:

\(~\)

Anwendungen:

Funktionen sind ein zentraler Bestandteil der Mathematik. Sie beschreiben die Entwicklungen gewisser Größe in Abhängigkeit der Zeit oder wie verschiedene (physikalische) Größen voneinander abhängen bzw. in Beziehung stehen. So berechnet man mit Funktionen das Volumen eines Körpers oder stellt mit Ihnen dar, wie sich ein Virus zeitlich ausbreitet, ...