Geraden im dreidimensionalen Raum
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Eine Gerade \(g\) im \(\mathbb R^3\) lässt sich allgemein wie folgt darstellen.
\(g: \vec x(t)=\vec a+t\cdot\vec b\), \(t\in\mathbb R\),
wobei \(\vec a\) Stützvektor und \(\vec b\) Richtungsvektor genannt wird.
Der Parameter \(t\in\mathbb R\) gibt gewissermaßen an "wo wir uns auf der Geraden befinden".
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Beispiel: Es sei die Gerade \(g: \vec x(t)=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}4\\5\\6\end{pmatrix}\). Durch Einsetzen von verschiedenen Werten für \(t\) erhalten wir die Koordinaten von Punkten, welche auf der Geraden liegen.
\(~\) Frage: Liegt der Punkt \((-6,-6,-6)\) auf der Geraden? Wenn dem so ist, dann muss es ein \(t\in\mathbb R\) geben sodass diese 3 Gleichungen erfüllt sind:
Wir erhalten nicht denselben Wert für \(t\), wenn wir die einzelnen Gleichungen umstellen. Demzufolge gehört der Punkt \((-6,-6,-6)\) nicht zur Geraden \(g\). |
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Verbindungsgerade zweier Punkte
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Beispiel: Gesucht ist die Gerade \(g\), welche die beiden Punkte \(A(1,2,3)\) und \(B(-1,0,-2)\) verbindet. Als Stützvektor wählen wir \(\vec{OA}=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}\) (auch \(\vec{OB}\) wäre möglich). Als Richtungsvektor wählen wir \(\vec{AB}=\begin{pmatrix}-2\\-2\\-5\end{pmatrix}\) (auch ein bel. Vielfaches dieses Vektors wäre möglich). Wir erhalten \(g: \vec x(t)=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}-2\\-2\\-5\end{pmatrix}\). Probe: Für \(t=0\) erhalten wir den Ortsvektor zu \(A\). Für \(t=1\) erhalten wir den Ortsvektor zu \(B\). |
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Lagebeziehungen Zwei Geraden im \(\mathbb R^3\) können
Gegeben seien die zwei Geraden \(g_1: \vec x(t)=\vec a+t\cdot\vec b\quad\) und \(\quad g_2: \vec x(s)=\vec c+s\cdot\vec d\). \(~\) Folgende Fälle können nun auftreten:
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In diesem Video wird die Lagebeziehung zwischen Geraden nochmal anschaulich erklärt:
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Beispiel: Wir betrachten die beiden Geraden \(g_1:\vec x(t)=\begin{pmatrix}3\\-2\\-2\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}1\\-1\\-2\end{pmatrix}\quad\) und \(\quad g_2:\vec x(s)=\begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix}-3\\3\\6\end{pmatrix}\). Die beiden Richtungsvektoren sind linear abhängig, denn es gilt \(\begin{pmatrix}-3\\3\\6\end{pmatrix}=-3\cdot\begin{pmatrix}1\\-1\\-2\end{pmatrix}\). \(~\) Die beiden Geraden sind also entweder identisch oder verlaufen parallel zueinander. Es reicht zu überprüfen, ob ein Punkt von \(g_1\) auf der Geraden \(g_2\) liegt. Der Punkt \(P(3,-2,-2)\) liegt auf \(g_1\). Wir setzen dessen Ortsvektor in \(g_2\) ein und schauen ob dies zum Widerspruch führt. \(\begin{pmatrix}3\\-2\\-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix}-3\\3\\6\end{pmatrix}\). Die Gleichung ist offenbar erfüllt, wenn \(s=-\frac23\) ist. Der Punkt \(P(3,-2,-2)\) (und damit auch alle anderen Punkte von \(g_1\)) liegt daher auch auf der Geraden \(g_2\). \(~\) \(\Rightarrow\) \(g_1\) und \(g_2\) sind identisch. |
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Beispiel: Wir betrachten die beiden Geraden \(g_1:\vec x(t)=\begin{pmatrix}-1\\-3\\1\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}\quad\) und \(\quad g_2:\vec x(s)=\begin{pmatrix}1\\-3\\4\end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix}-1\\-1\\-2\end{pmatrix}\). Die beiden Richtungsvektoren sind linear abhängig, denn es gilt \(\begin{pmatrix}-1\\-1\\-2\end{pmatrix}=-1\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}\). \(~\) Die beiden Geraden sind also entweder identisch oder verlaufen parallel zueinander. Es reicht zu überprüfen, ob ein Punkt von \(g_1\) auf der Geraden \(g_2\) liegt. Der Punkt \(P(-1,-3,1)\) liegt auf \(g_1\). Wir setzen dessen Ortsvektor in \(g_2\) ein und schauen ob dies zum Widerspruch führt. \(\begin{pmatrix}-1\\-3\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\-3\\4\end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix}-1\\-1\\-2\end{pmatrix}\). Wenn wir in den einzelnen drei Komponenten nach \(s\) umstellen, erhalten wir unterschiedliche Werte \(\Rightarrow\) Widerspruch. (erste Zeile: \(s=2\), zweite Zeile: \(s=0\), dritte Zeile: \(s=\frac32\).) Der Punkt \(P(3,-2,-2)\) (und damit auch alle anderen Punkte von \(g_1\)) liegt also nicht auch auf der Geraden \(g_2\). \(~\) \(\Rightarrow\) \(g_1\) und \(g_2\) verlaufen parallel zueinander. |
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Beispiel: Wir betrachten die beiden Geraden \(g_1:\vec x(t)=\begin{pmatrix}3\\-5\\7\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}0\\3\\-4\end{pmatrix}\quad\) und \(\quad g_2:\vec x(s)=\begin{pmatrix}-1\\-5\\0\end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix}4\\3\\3\end{pmatrix}\). Die beiden Richtungsvektoren sind linear unabhängig, denn \(\begin{pmatrix}0\\3\\-4\end{pmatrix}\neq r\cdot\begin{pmatrix}4\\3\\3\end{pmatrix}\quad\) für jedes \(r\in\mathbb R\). \(~\) Die beiden Geraden sind also entweder windschief oder schneiden sich in einem Punkt. Wir setzen gleich und erhalten für die einzelnen Komponenten.
\(~\) Wir erhalten also keinen Widerspruch. Die Gleichungen sind erfüllt für die Kombination \(s=1\), \(t=1\). \(\Rightarrow\) \(g_1\) und \(g_2\) schneiden sich im Punkt \(S(3,-2,3)\). Den Schnittpunkt können wir bestimmen, indem wir \(t=1\) in \(g_1\) bzw. indem wir \(s=1\) in \(g_2\) einsetzen. |
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Beispiel: Wir betrachten die beiden Geraden \(g_1:\vec x(t)=\begin{pmatrix}-3\\-1\\-2\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}0\\3\\-1\end{pmatrix}\quad\) und \(\quad g_2:\vec x(s)=\begin{pmatrix}-5\\1\\2\end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix}4\\0\\2\end{pmatrix}\). Die beiden Richtungsvektoren sind linear unabhängig, denn \(\begin{pmatrix}0\\3\\-1\end{pmatrix}\neq r\cdot\begin{pmatrix}4\\0\\2\end{pmatrix}\quad\) für jedes \(r\in\mathbb R\). \(~\) Die beiden Geraden sind also entweder windschief oder schneiden sich in einem Punkt. Wir setzen gleich und erhalten für die einzelnen Komponenten.
\(~\) Wir erhalten also einen Widerspruch. \(\Rightarrow\) \(g_1\) und \(g_2\) sind windschief. |
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Übung: Bearbeite nun den zweiten Selbsttest zum Thema Analytische Geometrie! |
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