Intervalle: zusammenhängende Teilmengen von $\mathbb R$

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Als Intervalle bezeichnet man zusammenhängende Teilmengen der reellen Zahlen $\mathbb R$.

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Geschlossene Intervalle

Im Folgenden setzen wir voraus, dass $a$ und $b$ zwei reelle Zahlen sind, für die $a\leq b$ gilt.

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$$[a,b]$$

$$\quad\quad$$

Für die Notation geschlossener Intervalle benutzen wir eckige Klammern.

Das Intervall der Form $[a,b]$ schließt demnach alle Zahlen ein, welche zwischen $a$ und $b$ liegen, auch $a$ und $b$!!!

Anders gesagt: $x\in[a,b]$ ist dasselbe wie $a\leq x\leq b$, auch $x\in[a,b]\iff a\leq x\leq b$.

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Offene Intervalle

Im Folgenden setzen wir voraus, dass $a$ und $b$ zwei reelle Zahlen sind, für die $a<b$ gilt.

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$$(a,b)$$

$$\quad\quad$$

Für die Notation offener Intervalle benutzen wir runde Klammern.

Das Intervall der Form $(a,b)$ schließt demnach alle Zahlen ein, welche zwischen $a$ und $b$ liegen - ohne $a$ und $b$!!!

Anders gesagt: $x\in(a,b)$ ist dasselbe wie $a< x< b$, auch $x\in(a,b)\iff a<x<b$.

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Ist eine der Grenzen $\pm\infty$, so werden generell runde Klammern verwendet, da die Werte $\pm\infty$ offiziell nicht zu den reellen Zahlen gehören.

Intervalle können auch an einer Seite offen und an der anderen geschlossen sein (halboffene Intervalle).

Dazu ein paar Beispiele:

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$x\in[a,b]$	$\quad$	bedeutet	$\quad$	$a\leq x\leq b$
$x\in(a,b)$	$\quad$	bedeutet	$\quad$	$a<x<b$
$x\in(a,b]$	$\quad$	bedeutet	$\quad$	$a<x\leq b$
$x\in[a,b)$	$\quad$	bedeutet	$\quad$	$a\leq x<b$
$x\in[a,\infty)$	$\quad$	bedeutet	$\quad$	$a\leq x<\infty$
$x\in(-\infty,a)$	$\quad$	bedeutet	$\quad$	$-\infty<x<a$

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Abschließend könnt ihr euch noch ein kurzes Video zum Thema Intervalle anschauen:

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