Lineare Funktionen

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Eine Funktion der Form \(f(x)=m\cdot x +n\), wobei \(m\neq0\) und \(n\) feste reelle Zahlen sind, bezeichnen wir als lineare Funktion (=Gerade in der Ebene).

Die Funktion ist für alle \(x\in\mathbb R\) definiert und nimmt auch alle reellen Zahlen als Wert an, d.h. Definitionsbereich = Wertebereich = \(\mathbb R\).

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Anstieg

Die Zahl \(m\) ist gerade der Anstieg der Funktion \(y=f(x)=m\cdot x+n\).

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Begründung: Es seien \(x_1\neq x_2\) zwei verschiedene Zahlen, dann ist

\(\displaystyle\frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}=\frac{(m x_1+n)-(m x_2+n)}{x_1-x_2}=\frac{m (x_1-x_2)}{x_1-x_2}=m\),

d.h. \(m\) entspricht dem Quotienten aus Änderung der \(y\)-Werte durch Änderung der \(x\)-Werte, also dem Anstieg.

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Beispiel:

Im folgenden Bild sind die Funktionen

\(f(x)=3x\), \(\quad\displaystyle m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac 31\quad\) "1 nach rechts, 3 nach oben"
\(f(x)=\frac13 x\), \(\quad\displaystyle m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac 13\quad\) "3 nach rechts, 1 nach oben"
\(f(x)=-\frac12 x\), \(\quad\displaystyle m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{-1}2\quad\) "2 nach rechts, 1 nach unten"

dargestellt.

In diesem Beispiel ist \(n=0\). Daher gehen alle drei Funktionen durch den Koordinatenursprung \((0,0)\), d.h. \(f(0)=0\).

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Merke:

Ist \(m>0\), so wachsen die Funktionswerte "von links nach rechts" (monoton wachsend).
Ist \(m<0\), so fallen die Funktionswerte "von links nach rechts" (monoton fallend).

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Verschiebung

Den Koeffizienten \(n\) nennen wir Verschiebung.

Für die Funktion \(f(x)=m x+n\) gilt \(f(0)=n\),

d.h. der Funktionswert ist gegenüber dem der Funktion \(mx\) um den Wert \(n\) in \(y\)-Richtung verschoben.

Der Anstieg ändert sich durch addieren des Wertes \(n\) nicht.

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Beispiel:

Im folgenden Bild sind die Funktionen

\(f(x)=2x\)
\(f(x)=2x+1\)
\(f(x)=2x-1\)

dargestellt.

Die drei Funktionen verlaufen parallel zueinander.