Logarithmen
\(~\)
Für eine positive Zahl \(a>0\) (\(a\neq1\)) sei \(a^b=c\).
Wir wissen, dass dies gleichbedeutend damit ist, dass \(a=\sqrt[b]{c}\) bzw. \(a=c^{\frac1b}\), d.h. wir können diese Gleichung leicht nach \(a\) umstellen.
Frage: Wie können wir obige Gleichung nach \(b\) umstellen?
Antwort: Wir führen dazu eine neue Funktion ein, nämlich den Logarithmus, und schreiben: \(b=\log_a c\), in Worten \(b\) ist der Logarithmus von \(c\) zur Basis \(a\).
\(~\)
|
Kurz:
\(\; a^b=c \iff b=\log_a c\)
... \(a>0\) und \(a\neq1\) vorausgesetzt!
|
\(~\)
|
Beispiele:
- \(3=\log_2 8\), denn \(2^3=8\)
- \(-2=\log_4 \frac1{16}\), denn \(4^{-2}=\frac1{16}\)
- \(\frac 12=\log_9 3\), denn \(3=\sqrt9=9^{\frac12}\)
|
\(~\)
|
Merke: Im Umgang mit Logarihmen ist folgendes zu beachten:
- Es gilt \(1^x=1\) für jedes beliebige \(x\).
Deshalb macht es keinen Sinn, den Logarithmus zur Basis \(a=1\) zu betrachten!
- Generell definieren wir nur Logarithmen für Basen \(a\in(0,1)\cup(1,\infty)\).
- Da \(a^b\) dann auch positiv ist, ist \(\log_a c\) nur für \(c>0\) definiert.
- Es ist \(\log_a 1=0\), denn es gilt stets \(a^0=1\).
- Es ist \(\log_a a=1\), denn es gilt stets \(a^1=a\).
|
\(~\)
|
Logarithmengesetze
Analog zu den Potenzgesetzen gibt es die folgenden Logarithmengesetze.
Wir setzen dabei voraus, dass \(a,b_1,b_2>0\) sowie \(a\neq1\) gilt.
- \(\log_a(b_1\cdot b_2)=\log_a(b_1)+\log_a(b_2)\)
- \(\displaystyle\log_a\left(\frac{b_1}{b_2}\right)=\log_a(b_1)-\log_a(b_2)\)
- \(\log_a\left(b^c\right)=c\cdot\log_a(b)\)
- \(\log_a(b)\) lässt sich auch schreiben als \(\displaystyle\frac{\log_d(b)}{\log_d(a)}\) für ein beliebiges \(1\neq d>0\).
|
\(~\)
|
Dazu ein paar Beispiele:
- \(\log_2(4\cdot 8)=\log_24+\log_28=2+3=5\)
Probe ohne Logarithmengesetz: \(\log_2(4\cdot8)=\log_232=5\).
- \(\log_2\frac18=\log_21-\log_28=0-3=-3\)
Probe ohne Logarithmengesetz: \(\log_2\frac18=-3\), denn \(2^{-3}=\frac18\).
- \(\log_2(4^3)=3\cdot\log_24=3\cdot2=6\)
Probe ohne Logarithmengesetz:\(\log_2(4^3)=\log_264=6\), denn \(2^6=64\).
- \(\displaystyle\log_48=\frac{\log_28}{\log_24}=\frac32\)
Probe: \(\log_48=\frac32\), denn \(4^{\frac32}=\sqrt{4^3}=\sqrt{64}=8\).
|
\(~\)
|
Abkürzungen
Die gängigsten/ gebräuchlichsten Logarithmen werden meist wiefolgt abgekürzt:
- dekadischer Logarithmus (Log. zur Basis \(10\)):
\(\mathrm{lg}\,x:=\log_{10}x\), manchmal auch \(\log x:=\log_{10}x\)
- binärer Logarithmus (Log. zur Basis \(2\)):
\(\mathrm{lb}\,x:=\log_2x\)
- natürlicher Logarithmus (Basis ist die eulersche Zahl \(\mathrm e\)):
\(\ln x:=\log_{\mathrm e}x\)
|
\(~\)
|
Beispiele, Anwendung der Logarithmengesetze:
Sehen Sie sich die nachfolgenden Beispiele genau an und vollziehen Sie nach, welches Logarithmengesetz in den einzelnen Schritten angewendet wird.
\(~\)
- \(\lg 1000=3\log_{10} 10=3\)
- \(\ln\sqrt{\mathrm e}=\frac12\ln\mathrm e=\frac12\)
- \(\displaystyle\log_42=\frac{\log_22}{\log_24}=\frac12\)
- \(\displaystyle\log_4\frac12=\log_41-\log_42=0-\frac12=-\frac12\)
- \(\displaystyle\log_9\sqrt[3]{81}=\log_981^{\frac13}=\frac13 \log_9 81=\frac23\)
- \(\displaystyle\mathrm{lb}\left(2^6\cdot4^5\right)=\log_2(2^6)+\log_2(4^5)=\log_2(2^6)+5\log_24=6+5\cdot2=16\)
- \(\displaystyle\ln 36-2\ln 3-\ln4=\ln 36-\ln 3^2-\ln4=\ln 36-\ln9-\ln4=\ln\left(\frac{36}{9\cdot4}\right)=\ln 1=0\)
- \(\displaystyle\log_4128-\log_816+\log_24=\frac{\log_2128}{\log_24}-\frac{\log_216}{\log_28}+\log_24=\frac72-\frac43-2=\ldots=\frac{25}6\)
|
\(~\)
Hier gibt es nochmal ein anschauliches Video zu den Rechenregeln des Logarithmus:
\(~\)
|
Übung:
Führe den Selbsttest zum Thema Logarithmen durch!
|
\(~\)