Beispiel:

Gegeben seien die zwei Mengen \(A=\{2,4,1,5\}\) und \(B=\{1,5,3,6\}\). Dann ist \(A\cup B=\{1,2,3,4,5,6\}\) ... das sind alle Elemente, welche zu \(A\) oder zu \(B\) gehören. \(A\cap B=\{1,5\}\) ... das sind alle Elemente, welche zu \(A\) und gleichzeitig zu \(B\) gehören. \(A\setminus B=\{2,4\}\) ... das sind alle Elemente, welche zu \(A\) und nicht zu \(B\) gehören. \(B\setminus A=\{3,6\}\) ... das sind alle Elemente, welche zu \(B\) und nicht zu \(A\) gehören.

Beispiel:

Die Menge \(A=\{1,2,3\}\) ist echt enthalten in der Menge \(B=\{1,2,3,4\}\). Man schreibt \(A\subset B\).

Denn: Jedes Element von \(A\) ist auch Element von \(B\). Außerdem enthält \(B\) auch wirklich ein Element, welches nicht zu \(A\) gehört.

Beispiel:

Die Grundmenge sei die Menge der natürlichen Zahlen von \(1\) bis \(10\), d.h. \(G=\{1,\dots,10\}\).

Die Menge \(A=\{1,2,4,8\}\) ist in der Grundmenge \(G\) enthalten.

Die Komplementärmenge von \(A\) bzgl. der Grundmenge \(G\) ist demnach \(\bar A=G\setminus A=\{3,5,6,7,9,10\}\).

\(~\)

\(~\)

Beispiel:

Wir betrachten als zwei Mengen die Intervalle \([0,2]\) sowie \([1,3]\). Dann ist

\([0,2]\cup [1,3]=[0,3]\) ... Dass \(0\leq x\leq 2\) oder \(1\leq x\leq 3\) gilt, ist gleichbedeutend mit \(0\leq x\leq3\).

\([0,2]\cap [1,3]=[1,2]\) ... Die Bedingungen \(0\leq x\leq 2\) und \(1\leq x\leq 3\) müssen beide erfüllt sein. Dies gilt für alle \(1\leq x\leq2\).

\([0,2]\setminus[1,3]=[0,1)\) ... Im Intervall \([0,1)\) liegen alle Zahlen welche zu \([0,2]\) und gleichzeitig nicht zu \([1,3]\) gehören.

\([1,3]\setminus[0,2]=(2,3]\) ... Im Intervall \((2,3]\) liegen alle Zahlen welche zu \([1,3]\) und gleichzeitig nicht zu \([0,2]\) gehören.

Beispiel:

Wir betrachten als zwei Mengen die Intervalle \((-\infty,1)\) sowie \([0,2]\). Dann ist

\((-\infty,1)\cup [0,2]=(-\infty,2]\)

\((-\infty,1)\cap [0,2]=[0,1)\)

\((-\infty,1)\setminus [0,2]=(-\infty,0)\)

\([0,2]\setminus (-\infty,1)=[1,2]\)

Übung:

Führe den Selbsttest zum Thema Mengen durch!