An dieser Stelle wollen wir zunächst ein paar allgemeine Notationen vorstellen und anhand kurzer Beispiele erklären.

Außerdem führen wir Summen- und Produktzeichen ein. Ein paar Dinge sind vielleicht auch noch nicht aus der Schule bekannt.

Einige wichtige mathematische Symbole

Symbol $~$	in Worten $~$	Erklärung / Beispiel $~$
$\pm$	plus/minus	Beispiel: Es gilt $x^2=1$ für $x=1$ oder $x=-1$, kurz $x=\pm1$.
$\infty$	unendlich
$\mathbb N$	Menge der natürlichen Zahlen	Die natürlichen Zahlen enthalten die Zahlen $1,2,3,4,5$ usw. Für gewöhnlich bezeichnet man mit $\mathbb N_0$ die Menge der Zahlen $0,1,2,3,4,5$ usw. (... also analog zu den natürlichen Zahlen, aber die $0$ eingeschlossen).
$\mathbb Z$	Menge der ganzen Zahlen	Die ganzen Zahlen sind $0,\pm1,\pm2,\pm3,\pm4$ usw.
$\mathbb Q$	Menge der rationalen Zahlen (Brüche)	Zu $\mathbb Q$ gehören alle Zahlen, welche sich als Bruch schreiben lassen, z.B. auch alle natürlichen und ganzen Zahlen, aber auch $\frac12,\frac23,\frac{11}{17}$ etc.
$\mathbb R$	Menge der reellen Zahlen	$\mathbb R$ enthält alle Zahlen auf dem "Zahlenstrahl", also auch Zahlen, die nicht als Bruch geschrieben werden können (irrationale Zahlen wie $\sqrt2$, $\pi$ und viele mehr). Die natürlichen, ganzen und rationalen Zahlen sind natürlich auch in $\mathbb R$ enthalten.
$\Rightarrow$	es folgt (Implikation)	Beispiel: Aus $x>2$ folgt, dass auch $x>1$ gilt. Wenn $x$ größer als $2$ ist, dann ist $x$ auch größer als $1$. (... die Umkehrung gilt natürlich nicht) Kurz schreibt man in diesem Beispeil einfach $x>2\Rightarrow x>1$.
$\iff\quad$	genau dann wenn (Äquivalenz) ... ist dasselbe wie ...	Beispiel: Die Gleichung $x=y$ ist äquivalent zu $x-y=0$. Oder anders: Aus $x=y$ folgt $x-y=0$ und auch anders herum. Kurz schreibt man einfach $x=y\iff x-y=0$.
$\in$	(is an) element of	Example: The number $1$ is an element of the natural numbers, short $1\in\mathbb N$.
$\notin$	(is not an) element of	Example: The number $-1$ is not an element of the natural numbers, short $-1\notin\mathbb N$.
$\exists$	(it) exists	Example: There exists (at least) one integer $n$, for which $n^2=4$ holds. short: $\exists n\in\mathbb Z: n^2=4$.
$\not\exists$	does not exist	Example: There does not exist a rational number $x$ whose square $x^2$ is equal to $2$. short: $\not\exists x\in\mathbb Q: x^2=2$.
$\forall$	for all	Example: For all naturlal numbers $n$ it holds $n>0$, short: $\forall n\in\mathbb N: n>0$.

$~$

Summen und Produkte

$~$

Das Summenzeichen:

$$\sum$$

$$\quad\quad$$

Es seien $N$ Zahlen $z_1,z_2,\dots,z_N$ gegeben.

Für die Summe all dieser Zahlen schreiben wir kurz

$\displaystyle\quad z_1+z_2+\dots+z_N=\sum_{n=1}^N z_n$,

in Worten "Summe von $n=1$ bis $N$ über die Zahlen $z_n$".

$~$

Beispiel 1:

Es seien $z_1=2,z_2=1,z_3=2,z_4=5,z_5=3.\quad$

Dann ist beispielsweise

$\displaystyle\quad\sum_{n=1}^5 z_n=z_1+z_2+z_3+z_4+z_5=13.$

$\displaystyle\quad\sum_{n=2}^4 z_n=z_2+z_3+z_4=8.$

$~$

Beispiel 2:

Hier ein paar weitere Beispiele für Summen:

$\quad\displaystyle\sum_{n=1}^{10} n=1+2+\dots+9+10=55$.

$\quad\displaystyle\sum_{n=1}^3 \frac1n=1+\frac12+\frac13=\frac{11}6$.

$~$

Hier gibt es ein anschauliches Video zum Thema Summenzeichen mit noch mehr Beispielen:

$~$

Eine entsprechende Notation gibt es auch für Produkte:

$~$

Das Produktzeichen:

$$\prod$$

$$\quad\quad$$

Mit

$\displaystyle\quad\prod_{n=1}^{N} z_n=z_1\cdot z_2\cdot\ldots\cdot z_N$

bezeichnen wir das Produkt von $n=1$ bis $N$ der Zahlen $z_n$.

$~$

Beispiel 1:

Es seien $z_1=2,z_2=1,z_3=2,z_4=5,z_5=3.\quad$

Dann ist beispielsweise

$\displaystyle\quad\prod_{n=1}^5 z_n=z_1\cdot z_2\cdot z_3\cdot z_4\cdot z_5=60.$

$\displaystyle\quad\prod_{n=2}^4 z_n=z_2\cdot z_3\cdot z_4=10.$

$~$

Beispiel 2:

$\displaystyle\quad\prod_{n=1}^{3} \frac1n=\frac11\cdot\frac12\cdot\frac13=\frac16.\quad$

$~$

Hier gibt es auch noch Video zum Produktzeichen inkl. Beispielen:

Übung:

Führe den Selbsttest zum Thema Symbolik durch!

$~$

Symbol \(~\)	in Worten \(~\)	Erklärung / Beispiel \(~\)
\(\pm\)	plus/minus	Beispiel: Es gilt \(x^2=1\) für \(x=1\) oder \(x=-1\), kurz \(x=\pm1\).
\(\infty\)	unendlich
\(\mathbb N\)	Menge der natürlichen Zahlen	Die natürlichen Zahlen enthalten die Zahlen \(1,2,3,4,5\) usw. Für gewöhnlich bezeichnet man mit \(\mathbb N_0\) die Menge der Zahlen \(0,1,2,3,4,5\) usw. (... also analog zu den natürlichen Zahlen, aber die \(0\) eingeschlossen).
\(\mathbb Z\)	Menge der ganzen Zahlen	Die ganzen Zahlen sind \(0,\pm1,\pm2,\pm3,\pm4\) usw.
\(\mathbb Q\)	Menge der rationalen Zahlen (Brüche)	Zu \(\mathbb Q\) gehören alle Zahlen, welche sich als Bruch schreiben lassen, z.B. auch alle natürlichen und ganzen Zahlen, aber auch \(\frac12,\frac23,\frac{11}{17}\) etc.
\(\mathbb R\)	Menge der reellen Zahlen	\(\mathbb R\) enthält alle Zahlen auf dem "Zahlenstrahl", also auch Zahlen, die nicht als Bruch geschrieben werden können (irrationale Zahlen wie \(\sqrt2\), \(\pi\) und viele mehr). Die natürlichen, ganzen und rationalen Zahlen sind natürlich auch in \(\mathbb R\) enthalten.
\(\Rightarrow\)	es folgt (Implikation)	Beispiel: Aus \(x>2\) folgt, dass auch \(x>1\) gilt. Wenn \(x\) größer als \(2\) ist, dann ist \(x\) auch größer als \(1\). (... die Umkehrung gilt natürlich nicht) Kurz schreibt man in diesem Beispeil einfach \(x>2\Rightarrow x>1\).
\(\iff\quad\)	genau dann wenn (Äquivalenz) ... ist dasselbe wie ...	Beispiel: Die Gleichung \(x=y\) ist äquivalent zu \(x-y=0\). Oder anders: Aus \(x=y\) folgt \(x-y=0\) und auch anders herum. Kurz schreibt man einfach \(x=y\iff x-y=0\).
\(\in\)	(is an) element of	Example: The number \(1\) is an element of the natural numbers, short \(1\in\mathbb N\).
\(\notin\)	(is not an) element of	Example: The number \(-1\) is not an element of the natural numbers, short \(-1\notin\mathbb N\).
\(\exists\)	(it) exists	Example: There exists (at least) one integer \(n\), for which \(n^2=4\) holds. short: \(\exists n\in\mathbb Z: n^2=4\).
\(\not\exists\)	does not exist	Example: There does not exist a rational number \(x\) whose square \(x^2\) is equal to \(2\). short: \(\not\exists x\in\mathbb Q: x^2=2\).
\(\forall\)	for all	Example: For all naturlal numbers \(n\) it holds \(n>0\), short: \(\forall n\in\mathbb N: n>0\).