Gleichungen höherer Ordnung und Polynomdivision
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Bisher haben wir uns damit beschäftigt, wie man Gleichungen der Form
\(\quad ax+b=0\),
also lineare Gleichungen, sowie Gleichungen der Form
\(\quad ax^2+bx+c=0\),
also quadratische Gleichungen, lösen kann.
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Lineare Gleichungen lassen sich durch einfaches Umstellen lösen (Äquivalenzumformungen).
Für quadratische Gleichungen, die eine, zwei oder auch gar keine Lösungen besitzen können, kennen wir die als \(pq\)-Formel bekannte Lösungsformel.
Wir wollen uns in diesem Anschnitt kurz mit Gleichungen höherer Ordnung und Polynomdivision beschäftigen.
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Gleichungen höherer Ordnung
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Gleichungen vom Grad \(>2\) lassen sich im Allgemeinen nicht so leicht behandeln.
Für kubische und quartische Gleichungen (Grad 3 bzw. 4) gibt es ebenfalls Lösungsformeln, die aber schon sehr viel komplizierter sind als im quadratischen Fall.
Mit diesen Lösungsformeln wollen wir uns hier nicht beschäftigen.
Wir wollen stattdessen auf ein paar wenige einfache Fälle eingehen, die mit relativ wenig Aufwand behandelt werden können.
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1. Gegebene Faktorisierung
Im einfachsten Fall ist eine Faktorisierung des Polynoms in Faktoren vom Grad \(\leq2\) gegeben.
Erinnerung: Ein Produkt ist genau dann Null, wenn mindestens einer der Faktoren Null ist.
Wir können im betrachteten Fall also einfach die einzelnen Faktoren gleich Null setzen und erhalten somit alle Lösungen der Gleichung.
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Beispiel: Gegeben sei die Gleichung \(\quad (2x-1)\cdot(x^2-x-2)=0\). Das Produkt kann nur Null werden, wenn einer der beiden Faktoren Null wird. Demnach können wir die folgenden zwei Fälle betrachten. Fall 1: \(\quad 2x-1=0 \iff x=\frac 12\). Fall 2: \(\quad x^2-x-2=0 \iff x\in\{-1,2\}\) (mittels \(pq\)-Formel). Die Lösungsmenge der gegebenen Gleichung ist also \(\{-1,\frac12,2\}\). |
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2. Ausklammern von Potenzen von \(x\)
Ebenso einfach lässt sich die Gleichung behandeln, wenn sich eine Potenz von \(x\) so ausklammern lässt, dass nur noch ein Faktor vom Grad \(\leq2\) übrig bleibt.
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Beispiel: Gegeben sei die Gleichung \(\quad x^5-x^4-2x^3=0\). Wir sehen leicht, dass wir auf der linken Seite \(x^3\) ausklammern können. Es bleibt dann ein Faktor vom Grad \(2\) übrig: \(\quad x^3\cdot(x^2-x-2)=0\). Das Produkt kann wieder nur Null werden, wenn einer der beiden Faktoren Null wird. Fall 1: \(\quad x^3=0 \iff x=0\). Fall 2: \(\quad x^2-x-2=0 \iff x\in\{-1,2\}\) (siehe oben). Die Lösungsmenge der gegebenen Gleichung ist also \(\{-1,0,2\}\). Achtung: Die gegebene Gleichung sollte nicht einfach durch \(x^3\) geteilt werden. Dann wird die Nullstelle \(x_1=0\) "unterschlagen"! |
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3. Substitution von \(x^2\)
Eine Gleichung vierten Grades der Form
\(\quad ax^4+bx^2+c=0\),
in welcher nur gerade Potenzen von \(x\) auftauchen, können wir lösen, indem wir zunächst den Term \(x^2\) durch eine neue Variable ersetzen und die entstehende quadratische Gleichung behandeln.
Setzen wir \(z=x^2\), so können wir obige Gleichung schreiben als \(\quad az^2+bz+c=0\).
Dazu schauen wir uns ebenfalls ein einfaches Beispiel an.
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Beispiel: Gegeben sei die Gleichung \(\quad 2x^4-6x^2+4=0\). In dieser tauchen nur gerade Potenzen von \(x\) auf. Dies nutzen wir aus, indem wir \(x^2\) zunächst durch eine neue Variable ersetzen / substituieren. Wir setzen \(z=x^2\) und erhalten eine quadratische Gleichung in \(z\): \(\quad 2z^2-6z+4=0 \iff z^2-3z+2=0\). Diese haben wir per Division durch \(2\) auf Normalform gebracht und können nun die \(pq\)-Formel anwenden. \(\quad z_{1,2}=\frac32\pm\sqrt{\frac94-2}=\frac32\pm\frac12\). Die beiden Lösungen sind also \(z_1=1\) und \(z_2=2\). Nun können wir \(z\) wieder durch \(x^2\) ersetzen (rücksubstituieren), um die Lösungen der Ausgangsgleichung zu bestimmen. Fall 1: \(\quad z=x^2=1 \iff x\in\{-1,1\}\). Fall 2: \(\quad z=x^2=2 \iff x\in\{-\sqrt2,\sqrt2\}\). Die Lösungsmenge der Ausgangsgleichung ist also \(\{-1,1,-\sqrt2,\sqrt2\}\). |
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Beispiel: Wir betrachten die Gleichung \(x^4-3x^2-4=0\) und gehen analog zum letzten Beispiel vor. Substituieren von \(x^2\): \(\quad z^2-3z-4=0\). Lösen der quadratischen Gleichung: \(z_1=-1\), \(z_2=4\). Rücksubstitution: Fall 1: \(\quad x^2=-1\) ... diese Gleichung besitzt keine reellen Lösungen \(x\). Fall 2: \(\quad x^2=4 \iff x=\pm2\). Also ist die Lösungsmenge der Ausgangsgleichung gegeben durch \(\{-2,2\}\). |
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4. Erraten einer Nullstelle und Polynomdivision
Ist uns eine Gleichung der Form
\(\quad (x-x_0)\cdot (a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_1x^1+a_0)=0\)
gegeben, dann ist offensichtlich \(x=x_0\) eine Lösung dieser Gleichung (siehe Fall 1).
Auch eine Schlussfolgerung in die andere Richung ist möglich:
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Gegeben sei eine Gleichung der Form \(\quad a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_1x^1+a_0=0\). Ist \(x=x_0\) eine Lösung der Gleichung, so lässt sich der Faktor \(x-x_0\) abdividieren, sodass ein Term der Ordnung \(n-1\) übrig bleibt. Mittels einer Formel ausgedrückt: Es existieren Zahlen \(b_0,\dots,b_{n-1}\), sodass gilt \(\quad a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_1x^1+a_0 = (x-x_0)\cdot (b_{n-1}x^{n-1}+\dots+b_1x^1+b_0) \) bzw. können wir für \(x\neq x_0\) auch \(\quad \dfrac{a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_1x^1+a_0}{x-x_0} = b_{n-1}x^{n-1}+\dots+b_1x^1+b_0 \) schreiben. |
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Beispiel: Gegeben sei die Gleichung \(\quad 2x^3-x^2-4x+3=0\). Wir sehen leicht, dass \(x_0=1\) eine Lösung dieser Gleichung ist: \(\quad2\cdot1^3-1^2-4\cdot1+3=2-1-4+3=0 \;\checkmark\) \(~\) Nach obiger Aussage muss es also Zahlen \(a,b,c\) geben, sodass gilt \(\quad 2x^3-x^2-4x+3 = (x-1)\cdot(ax^2+bx+c)\). Wir wollen nun einmal versuchen, diese Zahlen \(a,b,c\) zu bestimmen. Dazu multiplizieren wir den Term auf der rechten Seite aus und erhalten \(\quad 2x^3\) \(-x^2\) \(-4x\) \(+3\) \(=ax^3 -ax^2 +bx^2 - bx + cx -c = \) \(ax^3\) \(+ (b-a)x^2\) \(+(c-b)x\) \(-c\). Zwei Polynome sind genau dann gleich, wenn die einzelnen Faktoren vor den Potenzen von \(x\) übereinstimmen. In unserem Fall bedeutet dies:
Aus der ersten Zeile ergibt sich also direkt \(a=2\). Damit erhalten wir dann aus Zeile 2, dass \(b=1\) sein muss. Aus Zeile 3 erhalten wir dann \(c=-3\), was nicht im Widerspruch zu Zeile 4 steht. \(~\) Es gilt also \(\quad 2x^3-x^2-4x+3=(x-1)\cdot(2x^2+x-3)\). Dies können wir leicht mittels einer Proberechnung überprüfen. \(~\) |
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Das Vorgehen aus dem letzten Beispiel ist auch als Polynomdivision bekannt.
Die Polynomdivision lässt sich noch etwas anschaulicher bzw. systematischer beschreiben.
Dies ähnelt stark dem Vorgehen bei der gewöhnlichen schriftlichen Division von Zahlen.
Am besten lässt sich die Vorgehensweise an einem Beispiel erklären.
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Beispiel: Wir betrachten wieder das Beispiel von oben und wollen vom Term \(2x^3-x^2-4x+3\) wieder den Faktor \(x-1\) abdividieren: \(\quad\dfrac{2x^3-x^2-4x+3}{x-1}=(2x^3-x^2-4x+3)\div (x-1)=\) ? Schritt 1: Wir teilen den Summanden der größten Ordnung im Zähler durch den des Nenners, wir berechnen also \(\dfrac{2x^3}{x}=2x^2\). Das Ergebnis schreiben wir schon einmal auf die rechte Seite. \(\quad \begin{array}{r}~&(&\color{red}{2x^3} & -x^2 & -4x &+3 &) & \div & (\color{red}{x} -1) & = & \color{red}{2x^2} & \dots \end{array}\) \(~\) Schritt 2: Wir rechnen "rückwärts" und multiplizieren den erhaltenen Term mit dem abzudividierenden Faktor. Wir berechnen hier also \(2x^2\cdot(x-1)=2x^3-2x^2\). Diesen Term schreiben wir auf die linke Seite unter den ursprünglichen Term höherer Ordnung. \(\quad \begin{array}{r}~&(&2x^3 & -x^2 & -4x &+3 &) & \div & (\color{red}{x -1}) & = & \color{red}{2x^2} & \dots \\
\(~\) Schritt 3: Wir ziehen die untere Zeile von der oberen ab. Das Ergebnis schreiben wir genau darunter (wie bei der schriftichen Addition/Subtraktion). \(\quad \begin{array}{r}~&(&2x^3 & -x^2 & -4x &+3 &) & \div & (x -1) & = & 2x^2 & \dots \\
\(~\) Schritt 4: Mit der letzten Zeile verfahren wir nun wie vorhin mit der ersten (siehe Schritt 1 bis 3). Zunächst berechnen wir \(\dfrac{x^2}{x}\), schreiben das Ergebnis zur rechten Seite hinzu. Dann multiplizieren wir wieder rückwärts und ziehen die neue Zeile von der vorherigen ab. \(\quad \begin{array}{r}~&(&2x^3 & -x^2 & -4x &+3 &) & \div & (\color{red}{x} -1) & = & 2x^2\color{red}{+x} &\dots \\
\(~\) Schritt 5: Mit der nun letzten Zeile verfahren wir wieder ganz genau so. Am Ende bleibt eine Null stehen. \(\quad \begin{array}{r}~&(&2x^3 & -x^2 & -4x &+3 &) & \div & (\color{red}{x} -1) & = & 2x^2+x\color{red}{-3} \\
\(~\) Also gilt \(2x^3-x^2-4x+3=(x-1)\cdot(2x^2+x-3)\) für alle \(x\in\mathbb R\) bzw. können wir für \(x\neq1\) auch \(\dfrac{2x^3-x^2-4x+3}{x-1}=2x^2+x-3\) schreiben. |
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Beispiel: Haben wir also eine Nullstelle einer Gleichung 3. Grades erraten, so können wir den entsprechenden Faktor mittels Polynomdivision abdividieren. Für die Gleichung \(\quad 2x^3-x^2-4x+3=0\) konnten wir die Lösung \(x_0=1\) erraten. Mittels Polynomdivision erhielten wir die Faktorisierung \(\quad 2x^3-x^2-4x+3=(x-1)\cdot(2x^2+x-3)=0\). Um alle Lösungen der Gleichung zu ermitteln, müssen wir also nur noch die quadratische Gleichung \(\quad 2x^2+x-3=0\) lösen. Diese hat die Nullstellen \(x_1=1\) und \(x_2=\frac{3}{2}\) (mittels \(pq\)-Formel). Wir sehen, dass \(x_0=1\) eine sogenannte doppelte Nullstelle ist. Die Lösungsmenge ist also \(\{1,\frac 32\}\). Da man alle Nullstellen mittels eines geeigneten Faktores abdividieren kann, gilt hier \(2x^3-x^2-4x+3=2\cdot(x-1)^2\cdot(x-\frac32)\). |
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Verallgemeinerung
Man kann natürlich auch ein Polynom durch einen Linearfaktor dividieren, ohne dass dieser eine Nullstelle repräsentiert.
Dabei bleibt dann ein Rest übrig.
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Beispiel: Wir wenden die Polynomdivision auf den Bruch \(\quad\dfrac{2x^3-x^2-4x+2}{x-1}\) an. Wir erhalten zunächst folgendes. \(\quad \begin{array}{r}~&(&2x^3 & -x^2 & -4x &+2 &) & \div & (x -1) & = & 2x^2+x-3 \dots \\
Da \(x_0=1\) keine Nullstelle des Zählers ist, bleibt am Ende der Rest \(-1\) stehen. Daher gilt \(\quad\dfrac{2x^3-x^2-4x+2}{x-1} = 2x^2+x-3-\dfrac{1}{x-1} \). Dies ist einfach eine andere Schreibweise des ursprünglichen Bruches. Derartige Darstellungen sind insbesondere wichtig, wenn es darum geht, asymptotisches Verhalten von gebrochen rationalen Funktionen zu untersuchen. |
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Die Polynomdivision kann analog verwendet werden, um Faktoren höherer Ordnung abzudividieren.
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Beispiel: Wir wenden die Polynomdivision auf den Bruch \(\quad\dfrac{2x^3+x^2-4x-3}{x^2+2x+1}\) an und erhalten folgendes. \(\quad \begin{array}{r}~&(&2x^3 & +x^2 & -4x &-3 &) & \div & (x^2+2x+1) & = & 2x-3 \\
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Abschließend noch ein Viedeo zu Polynomdivision:
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Übung: Führe den Selbsttest zum Thema Gleichungen höherer Ordnung und Polynomdivision durch. |
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