Potenzen

Eine Potenz ist ein Ausdruck der Form $a^b$, in Worten: $a$ hoch $b$.

Dabei bezeichnen wir $a$ als die Basis und $b$ als den Exponenten.

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Natürliche Exponenten

Ist $n$ eine natürliche Zahl, so verstehen wir unter der Potenz $x^n$ das $n$-malige Produkt von $x$ mit sich selbst, d.h.

$\quad\displaystyle x^n=\underbrace{x\cdot\ldots\cdot x}_{n\text{-mal}}=\prod_{i=1}^n x$.

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$\quad x^1=x$

$\quad x^2=x\cdot x$

$\quad x^3=x\cdot x\cdot x$

usw.

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Spezialfall $n=0$: Für jede Zahl $x$ setzen wir $x^0=1$.

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Potenzen lassen sich nicht nur für Exponenten $n\in\mathbb N$ definieren, sondern für beliebige reelle Exponenten $n\in\mathbb R$.

Obige Definition der Potenz als $n$-maliges Produkt der Zahl $x$ mit sich selbst ist so in dieser Form natürlich nur für $n\in\mathbb N$ sinnvoll.

Die folgenden Potenzgesetze formulieren wir ausschließlich für natürliche Exponenten.

Für beliebige reelle Exponenten gäbe es ein paar Sonderfälle, die beachtet werden müssen.

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Potenzgesetze:

Für $x,y\in\mathbb R$ und $n,m\in\mathbb N$ gilt

$x^m\cdot x^n=x^{m+n}$

$\left(x^m\right)^n=x^{m\cdot n}=\left(x^n\right)^m$

$(x\cdot y)^n=x^n\cdot y^n$

Für $y\neq 0$: $\displaystyle\left(\frac xy\right)^n=\frac{x^n}{y^n}$

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Die obigen Potenzgesetze erklären sich fast von selbst:

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$\displaystyle x^m\cdot x^n=\underbrace{\underbrace{x\cdot\ldots\cdot x}_{m\text{-mal}}\cdot\underbrace{x\cdot\ldots\cdot x}_{n\text{-mal}}}_{(m+n)\text{-mal}}=x^{m+n}$

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$\displaystyle \left(x^m\right)^n=\underbrace{x^m\cdot\ldots\cdot x^m}_{n\text{-mal}}=x^{m\cdot n}$

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$\displaystyle (x\cdot y)^n=\underbrace{(x\cdot y)\cdot\ldots\cdot(x\cdot y)}_{n\text{-mal}}=\underbrace{x\cdot\ldots\cdot x}_{n\text{-mal}}\cdot\underbrace{y\cdot\ldots\cdot y}_{n\text{-mal}}=x^n\cdot y^n\quad$ (siehe Kommutativgesetz für die Multiplikation)

$\displaystyle \left(\frac xy\right)^n=\underbrace{\frac xy\cdot\ldots\cdot\frac xy}_{n\text{-mal}}=\frac{\overbrace{x\cdot\ldots\cdot x}^{n\text{-mal}}}{\underbrace{y\cdot\ldots\cdot y}_{n\text{-mal}}}=\frac{x^n}{y^n}\quad$ (siehe Multiplikation von Brüchen)

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Beispiele:

$2^3=2\cdot2\cdot2=8$

$2^3\cdot2^2=2^5=32$

$(2^3)^2=2^6=64$

$(2\cdot3)^2=2^2\cdot3^2=4\cdot9=36$ bzw. ohne Potenzgesetz: $(2\cdot3)^2=6^2=36$

$\displaystyle\left(\frac{2}{3}\right)^2=\frac{2^2}{3^2}=\frac49$

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"Negative" Exponenten:

Für reelles $x\neq0$, $n\in\mathbb N$ setzen wir

$\quad\displaystyle x^{-n}:=\frac1{x^n}$.

Damit wissen wir nun auch, wie wir mit Exponenten $n\in\mathbb Z$ umgehen.

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Zum Beispiel ist

$2^3=2\cdot2\cdot2=8\quad$ und $\displaystyle\quad 2^{-3}=\frac1{2^3}=\frac18$.

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Es gilt weiterhin

$\displaystyle\frac{x^n}{x^m}=x^n\cdot x^{-m}=x^{n-m}$,

$\displaystyle\frac1{x^{-n}}=\frac1{\frac1{x^n}}=x^n$.

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Wurzeln

Bekanntlich wird mit $\sqrt x$ die Wurzel bzw. Quadratwurzel der Zahl $x$ bezeichnet.

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Für das Rechnen mit Wurzlen vereinbaren wir die folgenden Regeln:

Wurzeln können nur aus Zahlen, die größer oder gleich $0$ sind, gezogen werden.

Die Wurzel ist selbst auch stets größer oder gleich Null.

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Unter der Vorraussetzung, dass $x,y\geq 0$ bedeutet $y=\sqrt x$ das gleiche wie $y^2=x$.

Das heißt: Die Wurzel aus einer Zahl $x\geq0$ ist diejenige Zahl $y\geq0$, deren Quadrat $y^2$ gerade $x$ entspricht.

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Beispiele:

$\sqrt 4=2$, denn $2^2=4$.

$\sqrt{36}=6$, denn $6^2=36$.

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Achtung: $\sqrt 4=-2$ oder $\sqrt{36}=-6$ ist falsch, da die Wurzel stets $\geq0$ sein soll!

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Die Wurzel als Potenz geschrieben:

$$\,\sqrt x=x^{\frac12}$$

$$\quad$$

$\sqrt x$ schreibt man auch als $x^{\frac12}$.

Dies ist sinnvoll, denn es ist mit den uns bekannten Potenzgesetzen vereinbar.

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Die Wurzel ist so definiert, dass $(\sqrt x)^2=x$ gilt.

Das Potenzgesetz $(x^m)^n=x^{m\cdot n}$ bekommt dann im Fall $x>0$ auch für beliebiege Koeffizienten $m,n\in\mathbb Q$ eine Bedeutung:

$(\sqrt x)^2=(x^{\frac12})^2=x^{\frac12\cdot 2}=x^1=x$.

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$n$-te Wurzel:

$$\,\sqrt[n]{x}=x^{\frac1n}$$

$$\quad$$

Die $n$-te Wurzel einer positiven Zahl $x$, ist diejenige positive Zahl $y$, für die gerade $y^n=x$ ist.

Die $n$-te Wurzel von $x$ schreiben wir so: $\sqrt[n]x=x^{\frac1n}$.

Wir übernehmen also all das, was wir schon für die Quadratwurzel, d.h. $n=2$, kennen.

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Beispiele:

$\sqrt[3] 8=2$, denn $2^3=8$.

$\sqrt[4]{81}=3$, denn $3^4=81$.

$\displaystyle\sqrt[3]{\frac1{27}}=\frac13$, denn $\displaystyle\left(\frac13\right)^3=\frac1{3^3}=\frac1{27}$

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Potenzen mit gebrochenem Exponenten:

Es sei $m$ eine ganze Zahl ($m\in\mathbb Z$), $n$ eine natürliche Zahl ($n\in\mathbb N$).

Dann definieren wir $x^{\frac mn}$ wiefolgt:

$\quad x^{\frac mn}=\sqrt[n]{x^m}\quad$ bzw. $\quad x^{\frac mn}=\left(\sqrt[n]x\right)^m$.

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Dazu gleich ein paar Beispiele:

$4^{\frac32}=\sqrt{4^3}=\sqrt{64}=8$ bzw. $4^{\frac32}=(\sqrt{4})^3=2^3=8$... beide Wege sind möglich.

$2^{\frac43}=\sqrt[3]{2^4}=\sqrt[3]{16}$

$4^{-\frac32}=\sqrt{4^{-3}}=\sqrt{\frac1{64}}=\frac{\sqrt1}{\sqrt{64}}=\frac18$ bzw. $4^{-\frac32}=(\sqrt{4})^{-3}=2^{-3}=\frac18$

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Beispielaufgaben zu Termumformungen mit Potenzen und Wurzeln

Sehen Sie sich die nachfolgenden Beispiele genau an und versuchen Sie jeden einzelnen Schritt nachzuvollziehen.

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$\displaystyle\left(\frac1{2^{-3}}\right)^{-2}=\frac{1^{-2}}{2^{6}}=\frac1{64}$

$\displaystyle\left(\frac1{(x^{-3})^2}\right)^5=\left(\frac1{x^{-6}}\right)^5=\frac1{x^{-30}}=x^{30}$

$\displaystyle\frac{\frac{2^33^2}{5^2}}{\left(\frac{2\cdot5^{-1}}{3^{-1}}\right)^3}=\frac{\frac{2^33^2}{5^2}}{\frac{2^3\cdot5^{-3}}{3^{-3}}}=\frac{\frac{2^33^2}{5^2}}{\frac{2^33^3}{5^3}}=\frac{2^33^2}{5^2}\cdot\frac{5^3}{2^33^3}=\frac53$

$\displaystyle\frac{2\sqrt{8}\sqrt[3]{16}}{\sqrt[6]{32}}=\frac{2\sqrt{2^3}\sqrt[3]{2^4}}{\sqrt[6]{2^5}}=\frac{2\cdot2^{\frac32}2^{\frac43}}{2^{\frac56}}=2^{1+\frac32+\frac43-\frac56}=2^3=8$

$\displaystyle\frac{\sqrt x\cdot\sqrt[3]b\cdot\sqrt[3]x\cdot\sqrt[4]b}{\sqrt[6]{\frac1x}\cdot\sqrt[12]b}=\frac{x^{\frac12}b^{\frac13}x^{\frac13}b^{\frac14}}{x^{-\frac16}b^{\frac1{12}}}= x^{\frac12+\frac13+\frac16}b^{\frac13+\frac14-\frac1{12}}=x\cdot b^{\frac12}=x\sqrt b$

$\displaystyle\sqrt[4]{\sqrt[3]{16}}\sqrt[12]{16}\sqrt{\sqrt[6]{16}}=\left(16^{\frac13}\right)^{\frac14}16^{\frac1{12}}\left(16^{\frac16}\right)^{\frac12}= 16^{\frac1{12}}16^{\frac1{12}}16^{\frac1{12}}=16^{\frac 14}=\left(2^4\right)^{\frac14}=2$

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Übung:

Führe den Selbsttest zum Thema Potenzen durch!

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Anwendungen:

Potenzen, Wurzeln und Logarithmen werden verwendet, um die algorithmische Komplexität von Algorithmen zur Lösung von Problemen zu beschreiben, d.h. wie schnell der Algorithmus ist. Potenzen treten bei der Berechnung von Zinseszinsen auf oder beim einfachen ausrechnen der Flächen von geometrischen Objekten. Wir verwenden Potenzen in Potenzreihen oder Taylorreihen zur Darstellung von Funktionen.

Weitere Anwendungen sind der radioaktive Zerfall eines Elements oder das exponentielle Wachstum einer Bakterienkultur/ Population, bzw. die exponentielle Ausbreitung eines Virus und der damit verbundene R-Wert.

Bei der Darstellung großer Zahlen in Grafiken verwendet man häufig eine logarithmische Skala.