Funktionsgraph

Der Graph einer quadratischen Funktion \(f(x)=ax^2+bx+c\) wird als Parabel bezeichnet.

Die Parabel kann nach oben oder nach unten geöffnet sein:

\(~\)

Fall 1: \(a>0\)	\(\quad\)	Fall 2: \(a<0\)
Die Parabel ist nach oben geöffnet.		Die Parabel ist nach unten geöffnet.
Eigenschaften: Der Scheitelpunkt der Funktion (im Bild rot dargestellt) ist der tiefste Punkt der Funktion (Minimum). Je weiter \(x\) von der Minimalstelle entfernt ist, desto größer ist der Funktionswert \(f(x)\). (wir nähern uns dem Wert \(+\infty\))		Eigenschaften: Der Scheitelpunkt der Funktion (im Bild rot dargestellt) ist der höchste Punkt der Funktion (Maximum). Je weiter \(x\) von der Maximalstelle entfernt ist, desto kleiner ist der Funktionswert \(f(x)\). (wir nähern uns dem Wert \(-\infty\))

Scheitelpunktform

Jede Parabel kann man in der Form \(f(x)=a(x-\)\(d\)\()^2+\) \(e\) schreiben.

Diese Darstellung bezeichnen wir auch als Scheitelpunktform, denn an ihr kann man leicht den Scheitelpunkt ablesen.

Dieser hat die Koordinaten \((x_S,y_S)=(\)\(d\)\(,\) \(e\)\()\), wir schreiben auch \(S(\)\(d\)\(,\) \(e\)\()\).

\(~\)

Beispiel:

Die nach unten geöffnete Parabel \(f(x)=-2(x-3)^2+4\) hat ihren Scheitelpunkt (=Maximumpunkt) im Punkt \((3,4)\).

Durch ausmultiplizieren erhalten wir die Darstellung \(f(x)=-2x^2+12x-14\).

Bestimmung der Scheitelpunktform

Eine Parabel der Form \(f(x)=x^2+px+q\) lässt sich am leichtesten in die Scheitelpunktform überführen.

Es gilt (quadratische Ergänzung)

\(\displaystyle f(x)=x^2+px+q=\left(x+\frac p2\right)^2-\frac{p^2}{4}+q\),

d.h. der Scheitelpunkt hat die Koordinaten \((-\frac p2,q-\frac{p^2}{4})\).

Beispiele:

• Für die quadratische Funktion \(f(x)=x^2-x+1\) ist \(p=-1\) und \(\frac p2=-\frac12\).
  
  Wir erhalten \(f(x)=(x-\frac 12)^2-\frac 14+1=(x-\frac12)^2+\frac34\),
  
  d.h. der Scheitelpunkt hat die die Koordinaten \((\frac12,\frac34)\).

• Für die quadratische Funktion \(f(x)=x^2+2x+3\) ist \(p=2\) und \(\frac p2=1\).
  
  Wir erhalten also \(f(x)=(x+1)^2-1+3=(x+1)^2+2\),
  
  d.h. der Scheitelpunkt liegt bei \((-1,2)\).

• Für die quadratische Funktion \(f(x)=x^2+4x\) ist \(p=4\).
  
  Wir erhalten \(f(x)=(x+2)^2-4+0=(x+2)^2-4\),
  
  d.h. der Scheitelpunkt hat die Koordinaten \((-2,-4)\).

• \(f(x)=2x^2+3\) ist bereits in Scheitelpunktform, denn \(f(x)=2(x-0)^2+3\).
  
  Der Scheitelpunkt liegt also bei \((0,3)\).

Scheitelpunktform

Um eine quadratische Funktion der Form \(f(x)=ax^2+bx+c\) in Scheitelpunktform zu überführen,
gehen wir wiefolgt vor:

• Wir klammern \(a\) aus: \(\displaystyle f(x)=a\left(x^2+\frac bax+\frac ca\right)\).

• Wir überführen den Ausdruck in Klammern \(x^2+\frac bax+\frac ca\) in Scheitelpunktform.

• Wir lösen die äußere Klammer wieder auf, um die Scheitelpunktform für \(f(x)\) zu erhalten.

Dazu gleich ein Beispiel:

Wir wollen die Funktion \(f(x)=2x^2+4x+6\) in Scheitelpunktform schreiben.

• Wir klammern \(a=2\) aus: \(f(x)=2(x^2+2x+3)\).

• Wir überführen den Ausdruck in Klammern in Scheitelpunktform:
  \(x^2+2x+3=(x+1)^2-1+3=(x+1)^2+2\).

• Wir setzen ein und lösen die äußere Klammer auf:
  \(f(x)=2((x+1)^2+2)=2(x+1)^2+4\).

Der Scheitelpunkt liegt also bei \((-1,4)\).

Übung:

Bearbeite nun den ersten Selbsttest zum Thema Funktionen!