Wir widmen uns in diesem Abschnitt speziell quadratischen Gleichungen und Ungleichungen.
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Lösen quadratischer Gleichungen
Gleichungen der Form \(x^2+px+q=0\) lassen sich ebenso leicht nach \(x\) auflösen. Dabei können die folgenden drei Fälle eintreten
Wir benötigen die folgende Formel zum Berechnen der Lösungen.
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\(pq\) - Formel Die Lösungen der Gleichung (sofern diese existieren) \(\quad x^2+px+q=0\) lassen sich wiefolgt bestimmen. \(\quad\displaystyle x_{1,2}=-\frac{p}{2}\pm\sqrt{\frac{p^2}{4}-q}\). \(~\) Der Ausdruck unter der Wurzel \(D:=\frac{p^2}{4}-q\) wird auch als Diskriminante bezeichnet. Anhand der Diskriminante kann man leicht sehen, wieviele Lösungen die Gleichung besitzt:
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Dazu ein paar Beispiele:
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Beispiel: Wir wollen die quadratische Gleichung \(x^2+2x-3=0\) lösen. In diesem Fall ist \(p=2\) und \(q=-3\). Damit erhalten wir \(\displaystyle x_{1,2}=-\frac22\pm\sqrt{\frac44+3}=-1\pm\sqrt{4}=-1\pm2\), d.h. die Gleichung hat die beiden Lösungen \(x_1=-3\) und \(x_2=1\). Die Lösungsmenge ist \(\mathcal L=\{-3,1\}\). \(~\) Für die Gleichung \(x^2+2x+1=0\) erhalten wir \(x_{1,2}=-1\pm\sqrt{1-1}=-1\pm0\), d.h. die Gleichung hat nur die eine Lösung \(x=-1\). \(~\) Für die Gleichung \(x^2+2x+2=0\) erhalten wir \(x_{1,2}=-1\pm\sqrt{1-2}\), was zum Widerspruch führt. Damit ist die Lösungsmenge leer, d.h. \(\mathcal L=\emptyset\). |
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Beispiel: Wir wollen die Gleichung \(-2x^2-4x+16=0\) lösen. Diese ist noch nicht in der Form \(x^2+px+q=0\). Die Lösungsformel kann aber nur in diesem Fall angwendet werden. Wir können die gegebene Gleichung auf diese Form bringen indem wir beide Seiten durch \(-2\) dividieren, bzw. mit \(-\frac12\) multiplizieren. Wir erhalten \(-2x^2-4x+16=0 \;\iff\; x^2+2x-8=0\), d.h. wir können die Lösungsformel mit \(p=2\) und \(q=-8\) anwenden. Demnach ergeben sich die Lösungen \(x_{1,2}=-1\pm\sqrt{1+8}=-1\pm3\), d.h. \(\mathcal L=\{-4,2\}\). |
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Lösen quadratischer Ungleichungen
Wir wollen uns anschauen, wie man Ungleichungen der Form
\(\quad x^2+px+q\geq 0\quad\) oder \(\quad x^2+px+q> 0\)
usw. löst.
Hat die quadratische Funktion \(f(x)=x^2+px+q\) (wir bezeichen diese als nach oben geöffnete Parabel) zwei Nullstellen \(x_1<x_2\), dann sieht der Graph der Funktion etwa so aus:
Daran können wir folgendes ablesen:
Für \(<\) bzw. \(>\) müssen wir dann offene Intervalle benutzen:
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Im Wesentlichen besteht die Lösung einer solchen quadratischen Ungleichung also aus der Lösung der quadratischen Gleichung \(x^2+px+q=0\).
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Beispiel: Wir betrachten die Ungleichung \(x^2+2x-3\leq0\). Wir lösen zunächst die Gleichung \(x^2+2x-3=0\) und erhalten \(x_1=-3\) und \(x_2=1\). (siehe oben) Für die zu lösende Ungleichung lautet also die Lösungsmenge \(\mathcal L=[-3,1]\). \(~\) Für die anderen Relationszeichen erhalten wir:
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Beispiel: Wir betrachten die Ungleichung \(x^2+2x+1\geq0\). Wir haben die Gleichung \(x^2+2x+1\geq0\) bereits gelöst und erhielten nur eine Lösung \(x_1=x_2=-1\). Demnach ist die Lösungsmenge für obige Ungleichung \(\mathcal L=(-\infty,-1]\cup[-1,\infty)=\mathbb R\), d.h. alle reellen Zahlen erfüllen sie. \(~\) Für die anderen Relationszeichen erhalten wir:
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Beispiel: Die Gleichung \(x^2+2x+2=0\) hat keine Lösungen, d.h. es gilt immer \(x^2+2x+2>0\). Demnach ergeben sich folgende Lösungsmengen für die verschiedenen Ungleichungen.
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Ist die linke Seite der uns gegebenen Ungleichung nicht von der Form \(x^2+px+q\), dann müssen wir die Ungleichung zunächst entsprechend umformen, so wie wir dies bei der Lösung von quadratischen Gleichungen gemacht haben!
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Beispiel: Um die Ungleichung \(-2x^2-4x+6\geq0\) zu lösen, dividieren wir diese zunächst mit \((-2)\).
Wir erhalten die äquvalente Ungleichung \(x^2+2x-3\leq0\), deren linke Seite von der gewünschten Form \(x^2+px+q\) ist.
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Hier gibt es auch noch ein Video zur Lösung einer quadratischen Ungleichung:
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Übung: Führe die beiden Selbsttests zu den Themen Gleichungen und Ungleichungen durch. |
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