Definition von Sinus und Kosinus am Einheitskreis

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Im Koordinatensystem betrachten wir den Kreis um den Koordinatenusprung mit Radius \(1\).

Wir zeichnen eine Linie vom Koordinatenursprung zum Rand des Kreises.

Den Winkel zwischen dieser Linie und dem positiven Teil der \(x\)-Achse bezeichnen wir mit \(\alpha\).

Wir bezeichnen nun

• die \(y\)-Koordinate des Schnittpunktes am Einheitskreis als Sinus des Winkels \(\alpha\): \(\sin(\alpha)\).

• die \(x\)-Koordinate des Schnittpunktes am Einheitskreis als Kosinus des Winkels \(\alpha\): \(\cos(\alpha)\).

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2. Quadrant		1. Quadrant
3. Quadrant		4. Quadrant

Definition am rechtwinkligen Dreieck

Am rechtwinkligen Dreick gilt:

\(\displaystyle\sin(\alpha)=\frac{\text{Länge d. Gegenkathete}}{\text{Länge d. Hypotenuse}}\quad\) und \(\quad\displaystyle\cos(\alpha)=\frac{\text{Länge d. Ankathete}}{\text{Länge d. Hypotenuse}}\)

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Am Einheitskreis werden Sinus und Kosinus im ersten Quadranten auch über ein rechtwinkliges Dreieck definiert.

In diesem Fall ist die Länge der Hypotenuse \(=1\).

Gradmaß und Bogenmaß

Winkel werden üblicherweise in Grad angegeben.

Eine weitere Möglichkeit ist die Angabe im Bogenmaß, die in der Mathematik eher üblich ist.

Der Umfang des vollen Kreises vom Radius \(1\) ist \(2\pi\).

Betrachten wir nur die Länge des Kreisbogens bis zu einem gewissen Winkel \(\alpha\), so hat dieser eine Länge von

\(\displaystyle\frac{\alpha\text{ (in Grad)}}{360^\circ}\cdot 2\pi\).

Dies ist dann der Wert des Winkels im Bogenmaß:

\(\displaystyle \alpha\text{ (Bogenmaß)}=\frac{2\pi}{360^\circ}\cdot\alpha\text{ (in Grad)}\).

Beispielsweise entspricht

• \(\alpha=360^\circ\) im Bogenmaß dem Winkel \(\alpha=2\pi\). (Umfang des gesamten Kreises)

• \(\alpha=180^\circ\) im Bogenmaß dem Winkel \(\alpha=\pi\). (Länge des Halbkreises)

• \(\alpha=90^\circ\) im Bogenmaß dem Winkel \(\alpha=\frac\pi2\). (Länge des Viertelkreises)

Nach einer ganzen Umdrehung werden wieder identische Werte erhalten, d.h. zum Beispiel

• \(\ldots=\sin(-330^\circ)=\sin(30^\circ)=\sin(390^\circ)=\ldots\),

• \(\ldots=\cos(-270^\circ)=\cos(90^\circ)=\cos(450^\circ)=\ldots\).

Funktionsgraphen

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Die Funktionen haben eine Periode von \(2\pi\),

d.h. der Graph sieht in den Intervallen \([-2\pi,0]\), \([2\pi,4\pi]\) usw. genauso aus wie im Intervall \([0,2\pi]\):

• \(\sin(x+2n\pi)=\sin(x)\) für beliebiges \(n\in\mathbb Z\),
• \(\cos(x+2n\pi)=\cos(x)\) für beliebiges \(n\in\mathbb Z\).

Quadrantenbeziehungen

Im folgenden bezeichne \(x\) einen Wert im Intervall \([0,\frac\pi2)\) (1.Quadrant).

An den folgenden Stellen werden vom Betrag her gleiche Funktionswerte angenommen (siehe Skizzen).

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Werte der Funktionen im 1. Quadranten

Es gibt einge markante Funktionswerte des Sinus und des Cosinus im 1. Quadranten.

Über die Quadrantenbeziehungen gelangt man zu den markanten Funktionswerte in den anderen Quadranten.

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Hinweis: \(\dfrac{\sqrt2}{2}\) ist dasselbe wie \(\dfrac{1}{\sqrt 2}\), denn schreibt man \(2=\sqrt2\cdot\sqrt 2\) kann man einen Wurzelterm kürzen.

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Nullstellen

• \(\sin(x)=0\) für alle \(x=n\pi\), wobei \(n\in\mathbb Z\), d.h. für alle \(x\in\{\ldots,-2\pi,-\pi,0,\pi,2\pi,\ldots\}\).

• \(\cos(x)=0\) für alle \(x=(n+\frac12)\pi\), wobei \(n\in\mathbb Z\), d.h. für alle \(x\in\{\ldots,-\frac32\pi,-\frac\pi2,\frac\pi2,\frac32\pi,\ldots\}\).
  

Beispiel:

Es gilt \(\sin(\frac\pi6)=\frac12\) und daher

• \(\sin(\pi-\frac\pi6)=\sin(\frac56\pi)=\frac12\),

• \(\sin(\pi+\frac\pi6)=\sin(\frac76\pi)=-\frac12\),

• \(\sin(2\pi-\frac\pi6)=\sin(\frac{11}6\pi)=-\frac12\).

Es gilt \(\sin(\frac\pi2)=\sin(\pi-\frac\pi2)=1\) und daher

• \(\sin(\pi+\frac\pi2)=\sin(2\pi-\frac\pi2)=\sin(\frac32\pi)=-1\)

Es gilt \(\cos(\frac\pi6)=\frac{\sqrt3}2\) und daher

• \(\cos(\pi-\frac\pi6)=\cos(\frac56\pi)=-\frac{\sqrt3}2\)

• \(\cos(\pi+\frac\pi6)=\cos(\frac76\pi)=-\frac{\sqrt3}2\)

• \(\cos(2\pi-\frac\pi6)=\cos(\frac{11}6\pi)=\frac{\sqrt3}2\)

Tangens

Die Tangens-Funktion ist wiefolgt definiert

\(\displaystyle \tan(x)=\frac{\sin(x)}{\cos(x)}\).

Am rechtwinkigen Dreieck entspricht dies gerade

\(\displaystyle \tan(\alpha)=\frac{\text{Länge d. Gegenkathete}}{\text{Länge d. Ankathete}}\).

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Die Tangens-Funktion hat die folgenden Eigenschaften:

• Sie hat die Periode \(\pi\).

• Sie wird genau an den Stellen Null, an denen auch die Sinus-Funktion ihre Nullstellen hat.
  \(\tan(x)=0\) für alle \(x=n\pi\), wobei \(n\in\mathbb Z\).

• An den Stellen, an denen der Cosinus den Wert Null annimmt, hat die Tangensfunktion Polstellen.
  Also: \(\tan(x)\) ist nicht definiert für alle \(x=(n+\frac12)\pi\), wobei \(n\in\mathbb Z\).

Einige markante Funktionswerte lassen sich aus den Funktionswerten für Sinus und Cosinus ableiten:

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Übungen:

• Berechne die Funktionswerte \(\tan(x)\) für \(x\in\{\frac23\pi,\frac34\pi,\frac56\pi,\pi\}\).

• Die Cotangens-Funktion ist wiefolgt definiert: \(\cot(x)=\dfrac{\cos(x)}{\sin(x)}\).
  Berechne wie für die Tangens-Funktion entsprechende Funktionswerte. Wie sieht der Graph dieser Funktion aus?