Wie bereits in Kapitel 2 erwähnt, widmen wir uns nun der Lösung trigonometrischer Gleichungen.

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Lösen trigonometrischer Gleichungen

Trigonometrische Gleichungen werden häufig auch goniometrische Gleichungen genannt. Ihre Besonderheit liegt darin, dass die gesuchte Variable im Argument von trigonometrischen Funktionen auftaucht. Zur Lösung solcher Gleichungen gibt es keinen standardisierten Rechenweg. Deshalb werden trigonometrische Gleichungen häufig nicht analytisch (durch Umformen), sondern numerisch näherungsweise bestimmt.

Trotzdem sind einige Spezialfälle leicht analytisch (durch Umformen) lösbar und es ist hilfreich und effizient solche Beispiele und deren Lösungswege zu kennen.

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Tipps:

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1. Gleichungen mit nur einer Winkelfunktion

Die einfachsten Beispiele entstehen wenn nur eine trigonometrische Funktion auftritt, wobei im Argument nur die Variable steht.

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Beispiel 1: 

\(\sin(x)=0.85\)

Wir wissen, dass die trigonometrische Funktion periodisch ist und deshalb unendlich viele Lösungen hat. Wir wollen erst die Lösungen in einer Periode \([0,2\pi]\) bestimmen und zum Schluss die periodischen Wiederholungen dieser Lösung mit Hilfe der Periodizität ergänzen.

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Zum lösen von Gleichungen der Art \(\sin(x)=0.85\) bieten sich 3 Möglichkeiten an:

Wir wollen im weiteren den Taschenrechner verwenden.

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Die Umkehrfunktionen der trigonometrischen Funktionen

Die Umkehrfunktionen werden verwendet um das Argument einer trigonometrischen Funktion für einen gegebenen Funktionswert zu erhalten. Dabei muss man genau aufpassen, da die Umkehrfunktionen nicht auf ganz \(\mathbb{R}\) abbilden. Sie liefern nur ein Argument. Alle weiteren Argumente muss man danach selbst mit den Quadrantenbeziehungen und der Periodizität bestimmen.

Arkussinus

Arkuskosinus

Arcustangens

Die Umkehrfunktion des Sinus ist der Arkussinus. Er ist definiert mit \(\arcsin : [-1,1] \to [\frac{-\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\).

d.h. für \(y=\sin(x)\) gilt \(x=\arcsin(y)\) für \(x \in [\frac{-\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\)

Die Umkehrfunktion des Kosinus ist der Arkuskosinus. Er ist definiert mit \(\arccos : [-1,1] \to [0,\pi]\).

d.h. für \(y=\cos(x)\) gilt \(x=\arccos(y)\) für \(x \in [0,\pi]\)

Die Umkehrfunktion des Tangens ist der Arkustangens. Er ist definiert mit \(\arctan : \mathbb{R} \to [\frac{-\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\).

d.h. für \(y=\tan(x)\) gilt \(x=\arctan(y)\) für \(x \in [\frac{-\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\)

 

Die Umkehrfunktionen werden auf Taschenrechnern häufig durch \(\sin^{-1}(\cdot)\), \(\cos^{-1}(\cdot)\) bzw. \(\tan^{-1}(\cdot)\) angegeben.

Achtung: Im Taschenrechner muss man genau aufpassen, ob er auf Bogenmaß oder Gradmaß eingestellt ist.

 

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Beispiel 1 (Fortsetzung):

Wir lösen also mit dem Taschenrechner \(x_1=\arcsin(0.85)\) und erhalten \(x_1 \approx 1.016\).

Damit liegt \(x_1\) im 1.Quadranten. Mit den Quadrantenbeziehungen (oder aus der Skizze) erhalten wir, dass ebenfalls \(\sin(\pi-x_1)=0.85\) gilt. Also ist \(x_2 = \pi-x_1 \approx 2.126\) ebenfalls eine Lösung der Aufgabe.

Die Periodizität liefert uns nun alle Lösungen: \(\mathcal L = \{ 1.016+2 \pi k ~|~ k \in \mathbb{Z} \} \cup \{ 2.126+2 \pi k ~|~ k \in \mathbb{Z} \}\)

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Dies funktioniert analog für den Kosinus und Tangens.

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Beispiel 2:

\(\cos(x)=0.85\)

\(\Rightarrow \quad x_1=\arccos(0.85) \approx 0.5548 \)

\( \Rightarrow \quad x_1\) liegt im 1. Quadranten und wegen der Quadrantenbeziehungen ist \(\cos(2\pi-x_1)\) ebenfalls gleich \(0.85 \quad \Rightarrow \quad x_2=2\pi-x_1 \approx 5.7284\) 

Periodizität liefert alle Lösungen: \(\mathcal L = \{ 0.5548+2 \pi k ~|~ k \in \mathbb{Z} \} \cup \{ 5.7284+2 \pi k ~|~ k \in \mathbb{Z} \}\)

 

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Beispiel 3:

\(\tan(x)=0.85\)

\(\Rightarrow \quad x_1=\arctan(0.85) \approx 0.7045 \)

Die Tangensfunktion nimmt in einer Periode jeden Wert nur einmal an.

Hier erhalten wir die weiteren Lösungen aus der Periodizität: \(\mathcal L = \{ 0.7045+ \pi k ~|~ k \in \mathbb{Z} \} \)

 

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Beispiel 4:

\(\sin(x)=-0.25\).

Wir bestimmen wieder erst die Lösungen in einer Periode \([0,2\pi]\). Dazu berechnen wir \(x_1=\arcsin(-0.25) \approx -0.2527\). Damit liegt \(x_1\) nicht in \([0,2\pi]\). Wegen der Periodizität der Sinusfunktion liegt aber \(x_1'=x_1+2\pi \approx 6.0305\) im Intervall und zwar im 4.Quadranten.

Die Quadrantenbeziehungen liefern nun, dass \(\sin(x_1')=\sin(2\pi - (2\pi-x_1')) =\sin(\pi+(2\pi-x_1'))\). Dabei beschreibt \((2\pi-x_1')\) den Abstand zwischen \(x_1\) und \(2\pi\). Wir erhalten also \(x_2=\pi+(2\pi-x_1') \approx 3.3943\).

Periodizität liefert alle Lösungen: \(\mathcal L = \{ 6.0305+2 \pi k ~|~ k \in \mathbb{Z} \} \cup \{ 3.3943+2 \pi k ~|~ k \in \mathbb{Z} \}\)

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Die Lösungen einiger trigonometrischer Gleichungen kennen wir bereits:

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Beispiel 5:

\(\cos(x)=0\) hat 3 Lösungen in jeder Periode (die Nullstellen).

\(\cos(x)=1\) hat 1 Lösung in jeder Periode (das Maximum).

\(\cos(x)=-1\) hat 1 Lösung in jeder Periode (das Minimum).

Das gilt analog für den Sinus.

 

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Beispiel 6:

\(20 \cdot \cos(x)-15=2\)

Trigonometrische Gleichungen der Form \(20 \cdot \cos(x)-15=2\) lassen sich leicht umstellen zu \(20 \cdot \cos(x)=17 \Leftrightarrow \cos(x)=0.85\) und das Lösen wir analog wie oben.

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Etwas schwieriger sind trigonometrische Gleichungen, in denen das Argument nicht nur von \(x\), sondern von einer linearen Funktion abhängt. Hier führen wir zusätzlich eine Substitution aus.

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Beispiel 7:

\(\sin(x+\frac{\pi}{5})=0.85\)

Wir Substituieren \(y=x+\frac{\pi}{5}\) und erhalten die Gleichung \(\sin(y)=0.85\).

Wir erhalten im Intervall \([0,2\pi]\) die Lösungen \(y_1 \approx 1.016\) und \(y_2 \approx 2.126\), wie in Beispiel 1.

Die Rücksubstitution liefert uns also \(x_1 = y_1-\frac{\pi}{5} \approx 0.3877 \) und \(x_2 = y_2-\frac{\pi}{5} \approx 1.4977 \)

\(\mathcal L = \{ 0.3877+2 \pi k ~|~ k \in \mathbb{Z} \} \cup \{ 1.4977+2 \pi k ~|~ k \in \mathbb{Z} \}\)

 

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Beispiel 8:

\(\sin(\)\(4\)\(x)=0.85\)

Substitution: \(y=\)\(4\)\(x\)

Löse \(\sin(y)=0.85\): \(y_1 \approx 1.016\) und \(y_2 \approx 2.126\) (siehe Beispiel 1)

Rücksubstitution: \(x_1 = \frac14 y_1 \approx 0.254 \) und \(x_2 = \frac 14 y_2 \approx 0.532 \)

Lösungsmenge: \(\mathcal L = \{ 0.254 +\)\(\frac{\pi}{2}\)\( k ~|~ k \in \mathbb{Z} \} \cup \{ 0.532+ \)\(\frac{\pi}{2}\)\( k ~|~ k \in \mathbb{Z} \}\)

Achtung: Es ändert sich die Periodenlänge der Funktion also auch die Periodenlänge der Lösungen auf \( \frac{2\pi}{4} \).

 

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Beispiel 9:

\(\cos(5x-\frac{\pi}{10})=-0.6\)

Substitution: \(y=5x-\frac{\pi}{10}\)
Löse zunächst: \(\cos(y)=-0.6\)
Erste Lsg: \(y_1 = \arccos(-0.6) \approx 2.2143\) (mit Taschenrechner)
Zweite Lsg:  \(y_2 = 2\pi-y_1 \approx 4.0689\) (mit Quadrantenbeziehungen)
Rücksubstitution:

\(y=5x-\frac{\pi}{10} \)

\(\Rightarrow \quad x_1=0.5057\)

\(\Rightarrow \quad x_2=0.8766\)
Lösungsmenge:

Berechne Periodenlänge: \(\cos(y)=\cos(y+2\pi)=\cos(5x-\frac{\pi}{10}+2\pi)=\cos(5(x+\frac{2\pi}{5})-\frac{\pi}{10}) \Rightarrow \) die Periodenlänge beträgt \(\frac{2\pi}{5}\).

\(\mathcal L = \{ 0.5057 +\frac{2\pi}{5} k ~|~ k \in \mathbb{Z} \} \cup \{ 0.8766+ \frac{2\pi}{5} k ~|~ k \in \mathbb{Z} \}\)

 

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Hier gibt es nochmal ein Video mit einem Rezept zur Lösung solcher Gleichungen:

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2. Gleichungen mit Quadraten

Beispiel 10:

\(6\sin^2(x)+\sin(x)=2\)

Substitution: \(y=\sin(x)\)
Löse zunächst:

\(6y^2+y=2 \quad \Rightarrow y^2 +\frac16 y - \frac13 =0 \Rightarrow y_{1,2}= - \frac{1}{12} \pm \sqrt{\frac{1}{12^2}+\frac13} = - \frac{1}{12} \pm \sqrt{\frac{1}{144}+\frac{48}{144}} = - \frac{1}{12} \pm \frac{7}{12}\)
Erste Lsg: \(y_1= \frac12\)
Zweite Lsg:  \(y_2= -\frac23\) 
Rücksubstitution:

\(y=\sin(x) \)

\( \sin(x)=\frac12 \Rightarrow x_1 \approx 0.5236\) und \(x_2 \approx 2.618\)

\( \sin(x)=-\frac23 \Rightarrow x_3 \approx -0.7297\) und \(x_4 \approx 3.8713\)
Lösungsmenge:

\(\mathcal L = \{ 0.5236 +2\pi k ~|~ k \in \mathbb{Z} \} \cup \{ 2.618+ 2\pi k ~|~ k \in \mathbb{Z} \} \cup \{ -0.7297 +2\pi k ~|~ k \in \mathbb{Z} \} \cup \{ 3.8713 + 2\pi k ~|~ k \in \mathbb{Z} \}\)

 

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Beispiel 11:

\(2\sin^2(x)+3\sin(x)=2\)

Substitution: \(y=\sin(x)\)
Löse zunächst:

\(2y^2+3y=2 \quad \Rightarrow y^2 +\frac32 y - 1 =0 \Rightarrow y_{1,2}= - \frac{3}{4} \pm \sqrt{\frac{9}{16}+1} = - \frac{3}{4} \pm \sqrt{\frac{25}{16}} = - \frac{3}{4} \pm \frac{5}{4}\)
Erste Lsg: \(y_1= -2\)
Zweite Lsg:  \(y_2= \frac12\) 
Rücksubstitution:

\(y=\sin(x) \)

\( \sin(x)=-2\) hat keine Lösung.

\( \sin(x)=\frac12 \Rightarrow x_1 \approx 0.5236\) und \(x_2 \approx 2.618\)
Lösungsmenge:

\(\mathcal L = \{ 0.5236 +2\pi k ~|~ k \in \mathbb{Z} \} \cup \{ 2.618+ 2\pi k ~|~ k \in \mathbb{Z} \}\)

 

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3. Gleichungen mit mehreren Winkelfunktionen

Wir nutzen Beziehungen zwischen den Winkelfunktionen aus um Gleichungen mit Quadraten zu erzeugen.

Additionstheoreme

Gegenseitige Darstellung trigonometrischer Funktionen:

1. \(\tan(x)=\frac{\sin(x)}{\cos(x)}\)
2. \(\sin^2(x)+\cos^2(x)=1\) (Trigonometrischer Phytagoras)
3. \(1+\tan^2(x) = \frac{1}{\cos^2(x)}\)
Phasenverschiebung:
4.  \(\sin(x+\frac{\pi}{2})=\cos(x)\)
5. \(\cos(x+\frac{\pi}{2})=-\sin(x)\)
Additionstheoreme:
6. \(\sin(x \pm y) = \sin(x)\cos(y) \pm \sin(y) \cos(x)\)
7. \(\cos(x \pm y) = \cos(x) \cos(y) \mp \sin(x) \sin(y)\)
8. \(\tan(x \pm y) = \frac{\tan(x) \pm \tan(y)}{1\mp \tan(x)\tan(y)}\)
Doppelwinkelfunktionen:
9. \(\sin(2x)=2\sin(x)\cos(x)\)
10 \(\cos(2x)=\cos^2(x)-\sin^2(x)=1-2\sin^2(x)=2\cos^2(x)-1\)
11. \(\tan(2x)=\frac{2\tan(x)}{1-\tan^2(x)}\)

 

Das ist nur eine kleine Auswahl der wichtigsten Formeln. Es gibt viele weitere solcher Zusammenhänge, siehe HIER. 

 

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Beispiel 12:

a) \(\cos(x)=\tan(x)\)

     Beachte \(x \neq \frac{\pi}{2}+k\pi\) für \(k \in \mathbb{Z}\)

     \(\overset{1.}{\Leftrightarrow} \cos(x)=\frac{\sin(x)}{\cos(x)} \Rightarrow \cos^2(x)=\sin(x) \overset{2.}{\Leftrightarrow} 1-\sin^2(x)=\sin(x) \Leftrightarrow \sin^2(x)+\sin(x)-1=0 \)

b) \(\sin^2(x)-\cos^2(x)=\frac25\)

     \(\overset{10.}{\Leftrightarrow} -\cos(2x)=\frac25\)

c) \(2\sin^2(x)=3\cos(x)\)

     \(\overset{2.}{\Leftrightarrow} 2-\cos^2(x)=3\cos(x) \Leftrightarrow \cos^2(x)+3\cos(x)-2=0\)

d) \(2\cos^2(x)-\sin(x)+3\sin^2(x)=0\)

     \(\overset{2.}{\Leftrightarrow} 2-\sin^2(x)-\sin(x)+3\sin^2(x)=0 \Leftrightarrow 2\sin^2(x)-\sin(x)+2=0\)

e) \(\sin(x)\cos(x)+3\cos^2(x)=0\)

     Klammere \(\cos(x)\) aus: \(\cos(x) \cdot ( \sin(x) + 3\cos(x) ) = 0\).

     Fall 1: \(\cos(x)=0 \Rightarrow x=\frac{pi}{2}+\pi k\) für \(k \in \mathbb{Z}\)

     Fall 2: \(\sin(x) + 3\cos(x) = 0 \Leftrightarrow \sin(x) = -3\cos(x) \Leftrightarrow \frac{\sin(x)}{\cos(x)}=-3 \overset{1.}{\Leftrightarrow} \tan(x)=-3 \Rightarrow x= -1.249 + \pi k\) für \(k \in \mathbb{Z}\)

 

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Beispiel 13:

\(2\sin(x)+9\cos(x)=7\)

Bringe \(\sin(\cdot)\) und \(\cos(\cdot)\) auf verschiedene Seiten: \(2\sin(x)= 7-9\cos(x)\)

Quadriere die Gleichung: \(4\sin^2(x)= (7-9\cos(x))^2 \Leftrightarrow 4\sin^2(x) = 49 - 126\cos(x) + 81\cos^2(x)\)

Und forme wieder um: \(\overset{2.}{\Leftrightarrow} 4(1-\cos^2(x)) = 49 - 126\cos(x) + 81\cos^2(x) \Leftrightarrow 85\cos^2(x) - 126\cos(x) + 45 = 0 \Leftrightarrow \cos^2(x) - \frac{126}{85}\cos(x) +\frac{45}{85} = 0\)

Substitution: \(y=\cos(x)\)
Löse zunächst:

\(y^2 - \frac{126}{85}y +\frac{45}{85} = 0 \quad \Rightarrow y_{1,2}= \frac{63}{85} \pm \sqrt{\frac{63^2}{85^2}-\frac{45}{85}} = \frac{63}{85} \pm \sqrt{\frac{63^2-45*85}{85^2}} = \frac{63}{85} \pm \sqrt{\frac{144}{85^2}}= \frac{63}{85} \pm \frac{12}{85}\)
Erste Lsg: \(y_1= \frac{75}{85} = \frac{15}{17}\)
Zweite Lsg:  \(y_2= \frac{51}{85}\) 
Rücksubstitution:

\(y=\cos(x) \)

\( \cos(x)=\frac{15}{17} \Rightarrow x_1 \approx 0.49\) und \(x_2 \approx 5.7932\)

\( \cos(x)=\frac{51}{85} \Rightarrow x_3 \approx 0.9273\) und \(x_4 \approx 5.3559\)
Probe:

Quadrieren ist keine äquivalente Umformung. Also machen wir eine Probe:

\(x_1 \approx 0.49\): \(2\sin(0.49)+9\cos(0.49)=7\) (falsch)
\(x_2 \approx 5.7932\): \(2\sin(5.7932)+9\cos(5.7932)=7\) (wahr)
\(x_3 \approx 0.9273\): \(2\sin(0.9273)+9\cos(0.9273)=7\) (wahr)
\(x_4 \approx 5.3559\): \(2\sin(5.3559)+9\cos(5.3559)=7\) (falsch)
Lösungsmenge:

\(\mathcal L = \{ 5.7932 +2\pi k ~|~ k \in \mathbb{Z} \} \cup \{ 0.9273+ 2\pi k ~|~ k \in \mathbb{Z} \}\)

 

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Übungen: Führe den zweiten Selbsttest zum Thema Funktionen durch.

 

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