Algebraische Geometrie / Algebraic Geometry

TU Chemnitz | Wintersemester 2021 / 2022 Algebraische Geometrie / Algebraic Geometry

Algebraische Geometrie / Algebraic Geometry

Willkommen zur OPAL-Seite zur Vorlesung Algebraische Geometrie. Sie finden hier alle relevanten Informationen, das Skript sowie die Übungsaufgaben zum Kurs. Die Vorlesung und die Übungen werden als Zoom-Konferenzen stattfinden, wenn es die sanitäre Situation zulässt, werden in unregelemäßiger Reihenfolge auch Präsenzveranstaltungen angeboten. Der gesamte Kurs findet je nach Publikum in Deutsch oder in Englisch statt.

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Zentrales Thema der Algebraischen Geometrie ist das Studium von Lösungsmengen von Systemen
von polynomialen Gleichungen in mehreren Variablen. Obwohl es dabei im Wesentlichen um geometrische Fragestellungen geht
(existieren Lösungen?, "wie groß" sind sie? (dies führt zum Dimensionsbegriff),
kann man sie in Komponenten zerlegen? usw.), sind die eingesetzten Methoden eher algebraisch. Deshalb
eignet sich die Vorlesung sehr gut als Fortsetzung einer Algebra-Vorlesung. Sie kann
als Schwerpunkt für die Bereiche Algebra und Geometrie gehört werden. Aufbauend auf dieser Vorlesung können Bachelorarbeitsthemen vergeben werden, nach dem Besuch von 1-2 weiterführenden Vorlesungen in den kommenden Semestern auch Masterarbeitsthemen.

Die wesentlichen Bereiche der Vorlesung werden sein:

  • Affin-algebraische Varietäten
  • Dimension und Komponentenzerlegung
  • Spektra von Ringen
  • Garben und Schemata
  • Lokale Ringe, Zariski-Tangentialraum, Singularitäten
  • Projektive Varietäten

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Welcome to the OPAL page for the lecture "algebraic geometry". You will find all relevant information here, as well as a manuscript and the weekly exercise sheets. Lecture and Exercise classes will be held online as Zoom conferences. If sanitary conditons permit, we will also provide face-to-face meeting from time to time. The class will be given either in German or in English, depending on the audience.

 

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The central topic of algebraic geometry is the study of solutions of systems of polynomial equations in several variables. Even though this is much motivated by geometric questions (such as: Do there exist solutions of a given system? How "big" are they (this leads to the notion of dimension), can we decompose them in components? etc.), the tools to investigate such systems are of rather algebraic flavour. Therefore this class fits well as a continuation to the undergraduate algebra classes. It can lead to a specialization in algebra and geometry (leading to bachelor's and master's thesis' topics). The main points touch upon in the class will be:

  • affine algebraic varieties
  • dimension and components of algebraic varieties
  • Spectra of rings
  • Sheaves and schemes
  • local rings, Zariski tangent spaces, singularities
  • projektive varieties
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