Zugangsprüfung Mathematik

Thema: Flaechenberechnung durch Integration

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Bestimmte Integration

Bei der bestimmten Integration wird über Teilmengen des Definitionsbereiches einer integrierbaren Funktion f integriert, z.B. über ein abgeschlossenes Intervall

$$[a;b]$$

Symbolische Darstellung:

$$\int_a^b{f(x) dx}$$

Die symbolische Schreibweise

$$f(x)dx$$

deutet an, dass die Integration anschaulich eine Summe über Produkte der Form

$$f(x) \cdot dx$$

darstellt.

Dabei ist dx ein "unendlich kleiner" Abschnitt auf der x-Achse. Das Integral summiert anschaulich über Rechtecke mit der Grundseite dx und der Höhe f(x).

Falls

$$f(x) \ge 0$$

auf dem Integrationsweg ist, und der Integrationsweg ein abgeschlossenes Intervall [a;b] ist, erhält man anschaulich eine Vorstellung von dem Ergebnis der bestimmten Integration:

sie berechnet den Flächeninhalt zwischen dem Graphen der Funktion f, den senkrechten Geraden x = a und x = b und dem Abschnitt [a;b] auf der x-Achse.

Bestimmte Integration über Kenntnis der Stammfunktion

Zu f(x) sei auf dem abgeschlossenen Intervall [a;b] eine Stammfunktion F(x) bestimmt. Das ist immer möglich, wenn die Funktion f auf dem Intervall [a;b] stetig ist.

Dann gilt folgendes:

$$\int_a^b{f(x) dx} = F(b) - F(a)$$

Die symbolische Schreibweise hierfür ist

$$[F(x)]_a^b$$

Beispiel für die bestimmte Integration über ein abgeschlossenes Intervall

$$\displaystyle \int_2^4{x^2 dx}=\left[\frac{x^3}{3}\right]_2^4$$ $$\left[\frac{x^3}{3}\right]_2^4=\frac{4^3}{3}-\frac{2^3}{3}=\frac{56}{3}=18\frac{2}{3}$$

Mit diesem Integral hat man die Fläche zwischen dem Graphen der Funktion

$$f(x)=x^2$$

den senkrechten Geraden x = 2 und x = 4 und der x-Achse berechnet.