Zugangsprüfung Mathematik

Thema: Schiefwinkliges Dreieck

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Darstellung eines schiefwinkligen Dreiecks Sinussatz Kosinussatz Übergang zum rechtwinkligen Dreieck Der Kosinussatz für das rechtwinklige Dreieck - Satz des Pythagoras Der Sinussatz für das rechtwinklige Dreieck

Darstellung eines schiefwinkligen Dreiecks

Sinussatz

Der Sinussatz besagt:

$$\frac{a}{\sin(\alpha)}=\frac{b}{\sin(\beta)}=\frac{c}{\sin(\gamma)}$$

Kosinussatz

Der Kosinussatz besagt:

$$a^2=b^2+c^2-2bc \cos(\alpha)$$ $$b^2=a^2+c^2-2ac \cos(\beta)$$ $$c^2=a^2+b^2-2ab \cos(\gamma)$$

Übergang zum rechtwinkligen Dreieck

Der Kosinussatz für das rechtwinklige Dreieck - Satz des Pythagoras

Wenn der Winkel

$$\gamma$$

den Wert

$$90°$$

annimmt, liegt ein rechtwinkliges Dreieck vor. Für diesen Winkel ergibt der Kosinus den Wert 0 und der Sinus den Wert 1.

Aus der Gleichung

$$c^2=a^2+b^2-2ab \cos(\gamma)$$

folgt

$$c^2=a^2+b^2$$

Das ist der Satz des Pythagoras für das rechtwinklige Dreieck.

Falls der Winkel

$$\alpha$$

einen Wert von 90° annimmt, wird die Seite a zur Hypotenuse des rechtwinkligen Dreiecks.

Der Satz des Pythagoras lautet dann

$$a^2=b^2+c^2$$

Die Hypothenuse ist immer die Seite eines rechtwinkligen Dreiecks, die dem rechten Winkel gegenüberliegt.

Der Sinussatz für das rechtwinklige Dreieck

Für den Sinussatz ergibt sich im Falle

$$\gamma=90°$$ $$\frac{b}{\sin(\beta)}=c$$

Es folgt

$$b = c \sin(\beta)$$

bzw.

$$\sin(\beta)=\frac{b}{c}$$