Erläuterungen 01
Rücksprung zu den Lösungen der Aufgaben
Kurvendiskussion
(1) $f(x)=(x+2)^2(x^2+4x)$
(a) Nullstellen der Funktion
Ein Produkt nimmt den Wert 0 an, wenn mindestens einer der Faktoren
den Wert 0 annimmt.
$x+2 = 0 \Rightarrow x_1=-2$
$x^2+4x=0 \Rightarrow x(x+4)=0$; es folgt: $x_2=0$ und $x_3=-4$
(a) die erste Ableitung der Funktion f(x)
$f'(x)=4x^3+24x^2+40x+16$
(c) Nullstellen der ersten Ableitung
$x_1=-2$ ist eine Nullstelle
Diese Nullstelle muss geraten werden oder sie wird durch einen
Hinweis bekannt gegeben.
Die anderen Nullstellen bestimmt man durch Polynomdivision:
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($4x^3$
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+
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$24x^2$
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+
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40x
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+
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16)
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:
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(x
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+
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2)
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=
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$4x^2$
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+
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16x
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+
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8
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-(
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$4x^3$
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+
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$8x^2$
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)
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0
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$16x^2$
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+
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40x
|
+
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16
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-(
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$16x^2$
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+
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32x
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)
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0
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8x
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+
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16
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-(
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8x
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+
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16
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)
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0
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0
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Ergebnis:
$(4x^3+24x^2+40x+16):(x+2)=4x^2+16x+8$
Die Nullstellen der quadratischen Gleichung sind
$x_1=-2-\sqrt{2};x_2=-2+\sqrt{2}$
(d) die lokalen Extremwerte:
Berechnung der zweiten Ableitung:
$f''(x)=12x^2+48x+40$
Es gilt: $f''(x_1)>0$ und $f''(x_2)>0$, d.h. an den Stellen
$x_1$ und $x_2$ liegt ein lokales Minimum vor.
Es gilt weiter $f''(-2)<0$, d.h. an der Stelle $x=-2$ liegt ein
lokales Maximum vor.