Lösung der Übungen zur Flächenberechnung durch Integration

Aufgabe 1

Betrachtet wird die rationale Funktion $f(x)=\displaystyle \frac{2x}{x^2-4}$

Berechnen Sie den Flächeninhalt des Flächenstückes, das durch die Geraden $x = 3$ und $x = 5$, sowie den Funktionsgraphen der Funktion $f(x)$ begrenzt wird.

Lösung

Den Flächeninhalt berechnet man nach der Formel $\displaystyle \int_3^5{f(x)dx}$

Zur Berechnung des bestimmten Integrals benötigt man eine Stammfunktion $F(x)$ von $f(x)$.

Für die gesuchte Stammfunktion $F(x)$ gilt die Bedingung $F'(x)=f(x)$.

Die Funktion $f(x)$ ist so aufgebaut, dass der Zähler des Quotienten $\displaystyle \frac{2x}{x^2-4}$ gerade die Ableitung des Nenners ist.

Es gilt also $f(x)=\displaystyle \frac{g'(x)}{g(x)}$ mit $g(x)=x^2-4$.

Die Stammfunktion für einen Ausdruck der Form $\displaystyle \frac{g'(x)}{g(x)}$ ist bekannt, es ist $F(x)=\ln(|g(x)|)$

Dabei muss $g(x) \ne 0$ sein.

Dass dort ein Betragszeichen stehen muss, kann man folgendermaßen einsehen:

(1) die Funktion $\ln(x)$ ist nur für positive reelle Zahlen $x$ definiert.

(2) für $g(x) > 0$ gilt $|g(x)|=g(x)$; es folgt $(\ln(|g(x)|)'=(\ln(g(x))'=\displaystyle \frac{1}{g(x)}g'(x)=\frac{g'(x)}{g(x)}$
für $g(x) < 0$ gilt $|g(x)|=-g(x)$; es folgt $(\ln(|g(x)|)'=(\ln(-g(x)))'=\displaystyle \frac{1}{-g(x)}(-g(x))'=\frac{g'(x)}{g(x)}$

Speziell gilt $(\ln(|x^2-4|))'= \displaystyle \frac{2x}{x^2-4}$

Damit gilt für das bestimmte Integral $\displaystyle \int_3^5{f(x)dx}$:

$\displaystyle \int_3^5{f(x)dx}=[F(x)]_3^5=F(5)-F(3)=\ln(|g(5)|)-\ln(|g(3)|)=\ln(21)-\ln(5)=1,44$

Ergebnis: das gesuchte Flächenstück hat den Inhalt 1,44 FE (Flächeneinheiten)


Die Graphik zur Aufgabenstellung




Aufgabe 2

Betrachtet wird das Polynom $f(x)=x^3+2x^2$

Berechnen Sie den Inhalt des Flächenstückes, das durch die Geraden x = -3 und x =1, sowie den Graphen der Funktion gebildet wird.

Bei der Integration von -3 bis +1 über die Funktion f(x) integriert man über Nullstellen der Funktion, d.h. die Ergebnisse der Teil-Integrationen zwischen den Nullstellen können positiv oder negativ ausfallen. Der gesuchte Flächeninhalt ist positiv zu berechnen.

(1) Bestimmung der Nullstellen im Integrationsweg der Funktion:

$x^3+2x^2=0 \Rightarrow x^2(x+2)=0$; Nullstellen sind $x_1=0; x_2=-2$. $x_1=0$ ist eine doppelte Nullstelle.

(2) Bestimmung einer Stammfunktion von $f(x)$

$f(x)=x^3+2x^2$ hat als Stammfunktion $F(x)=\displaystyle \frac{x^4}{4}+\frac{2}{3}x^3$

(3) Die Integrationswege:

$\displaystyle \int_{-3}^{-2}{f(x)dx}=[F(x)]_{-3}^{-2}=F(-2)-F(-3)=-3,58$

$\displaystyle \int_{-2}^0{f(x)dx}=[F(x)]_{-2}^0=F(0)-F(-2)=1,33$

$\displaystyle \int_0^1{f(x)dx}=[F(x)]_0^1=F(1)-F(0)=0,92$

Die Summe der drei Einzelintegrale ergibt den Wert -1,33.

Da man für den gesamten Flächeninhalt die einzelnen Teile positiv rechnen muss, ergibt sich 5,83 als der gesuchte Flächeninhalt.

Ergebnis: der gesuche Flächeninhalt ist 5,83 FE.

Man erhält dieses Ergebnis, wenn man über den Absolutbetrag der Funktion integriert, also $\displaystyle \int_{-3}^1{|f(x)|dx}=5,83$

Die Graphik zur Aufgabenstellung