Lösungen der Übungen zum Schiefwinkligen Dreieck
zu (1)
Aus der Zeichnungen kann man folgendes entnehmen: $q = 2, p =
3, h = 3, c = 5, \alpha = 45°; \beta = 56,31°; \gamma = 78,69°$
Anwendungen des Satzes des Pythagoras:
es gilt: $a^2=q^2+h^2$; einsetzen der Werte für h und q ergibt
$a^2=4+9=13; a = \sqrt{13}$
$b^2=p^2+h^2; b^2=9+9=18; b=\sqrt{18}$
Die Länge der Seite c ergibt sich als Addition der Längen
der Seiten p und q.
p und q lassen sich bestimmen, wenn die Höhe h
bekannt ist:
es gilt durch Anwendung des Satzes des Pythagoras: $a^2=h^2+q^2$ und
$b^2=p^2+h^2$
also $q = \sqrt{a^2-h^2}$; $p = \sqrt{b^2-h^2}$
h kann folgendermaßen bestimmt werden:
$\sin(\alpha)=\displaystyle \frac{h}{b}$; es folgt $h = b
\sin(\alpha)$
Einsetzen der Werte für $\alpha$ und $b$ ergibt: $h = \sqrt{18}
\sin(45°)$;
Es folgt h = 3.
Bestimmung von p und q:
Einsetzen der Werte für h, b und a ergibt:
$p = 3, q= 2$.
Hieraus folgert man c = p + q = 5
zu (2)
$\displaystyle
\frac{\text{winkel_in_grad}}{180}=\frac{\text{winkel_im_bogenmaß}}{\pi}$
$\text{winkel_im_bogenmaß} =\displaystyle \frac{(
\text{winkel_in_grad}) \cdot \pi}{180}$
Für $\alpha=45°$ erhält man den Wert $0,7854$
Für $\beta=56,31°$ ergibt sich der Wert $0,98279$
Für $\gamma=78,69°$ erhält man den Wert $1,3734$
zu (3)
$\displaystyle
\frac{a}{\sin(\alpha)}=\frac{\sqrt{13}}{\sin(0,7854)}=5,09902$
$\displaystyle
\frac{b}{\sin(\beta)}=\frac{\sqrt{18}}{\sin(0,98279)}=5,09902$
$\displaystyle
\frac{c}{\sin(\gamma)}=\frac{5}{\sin(1,3734)}=5,09902$
Alle drei Quotienten ergeben denselben Wert. Das Ergebnis bestätigt
den Sinussatz.
zu (4)
$c^2=25$; $a^2+b^2-2ab \cos(\gamma)=13+18-2\sqrt{13}\sqrt{18}
\cos(1,3734)=24,99996$
Die Gleichung $c^2=a^2+b^2-2ab \cos(\gamma)$ gilt exakt. Es ist der
Kosinussatz.
Fehlerquellen für die Abweichung
Die Winkel sind nur auf 2 Stellen nach dem Komma
angegeben.
Für den Winkel $\beta$ gilt z.B. $\cos(\beta)=\displaystyle
\frac{2}{\sqrt{13}}$.
Durch Anwendung der Funktion $\arccos$ auf den Term
$\displaystyle \frac{2}{\sqrt{13}}$ erhält man $\beta =
0.982793723247329$ im Bogenmaß.
Der Winkel $\alpha$ beträgt $45°$, das sind $\displaystyle
\frac{\pi}{4}$ im Bogenmaß.
Für $\gamma$ erhält man
$\gamma=\pi-\alpha-\beta=1,373400766945016$; dem entspricht ein
Winkel von $78,69006752598°$ im Gradmaß.
Rechnet man mit diesen Werten, so ergibt sich für den Term
$a^2+b^2-2ab \cos(\gamma)$ der Wert $24,9999999999$