Übungen zur unbestimmten Integration

Berechnen Sie die folgenden unbestimmten Integrale

Aufgabe 1

(a) $\int{\cos(x)dx}$

(b) $\int{\cos(2x)dx}$

(c) $\int{\cos(-3x)dx}$

(d) $\int{\cos(\frac{1}{2}x)dx}$

(e) $\int{\sin(x)dx}$

(f) $\int{\sin(2x+3)dx}$

(g) $\int{2\sin(2x+5)+\cos(3x)dx}$

(h) $\displaystyle \int{\frac{1}{\sqrt{x}}dx}$


Lösungen

(zu a)

$\int{\cos(x)dx}=\sin(x)+C$;

Probe: $(\sin(x)+C)'=\cos(x)$

(zu b)

$\int{\cos(2x)dx}=\displaystyle \frac{\sin(2x)}{2}+C$

Probe: $\left(\displaystyle \frac{\sin(2x)}{2}+C\right)'=\cos(2x)$

(zu c)

$\int{\cos(-3x)dx}=-\displaystyle \frac{1}{3}\sin(-3x)+C$	Probe: $\left(-\displaystyle \frac{1}{3}\sin(-3x)+C\right)'=\cos(-3x)$
Bemerkung: $\cos(-3x)=\cos(3x)$; $-\sin(-3x)=\sin(3x)$	Computeralgebra-Systeme (CAS) rechnen direkt: $\int{\cos(-3x)dx}=\displaystyle \frac{1}{3}\sin(3x)+C$  (Maple 14, GeoGebra)

(zu d)

$\displaystyle \int{\cos\left(\displaystyle \frac{1}{2}x\right)dx}=2\sin\left(\displaystyle \frac{1}{2}x\right)+C$

(zu e)

$\int{\sin(x)dx}=-\cos(x)+C$

(zu f)

$\displaystyle \int{\sin(2x+3)dx}=-\frac{1}{2} \cos(2x+3)+C$

(zu g)

$\displaystyle \int{2\sin(2x+5)+\cos(3x)dx}=-\cos(2x+5)+\frac{1}{3}\sin(3x)+C$

(zu h)

$\displaystyle \int{\frac{1}{\sqrt{x}}dx}=\int{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}dx}=\int{x^{-\frac{1}{2}}dx}=2x^{\frac{1}{2}}=2\sqrt{x}+C$

Bemerkung: C ist eine beliebige reelle Integrationskonstante.


Aufgabe 2

(a) $\int{e^xdx}$

(b) $\int{e^{2x}dx}$

(c) $\int{e^{2x+3}}dx$

Lösungen

(zu a)

$\int{e^xdx}=e^x+C$

(zu b)

$\displaystyle \int{e^{2x}dx}=\frac{1}{2} e^{2x}+C$

(zu c)

$\displaystyle \int{e^{2x+3}}dx=\frac{1}{2}e^{2x+3}+C$


Aufgabe 3

(a) $\int{2x^2+3x^3+4x^4 dx}$

(b) $\displaystyle \int{ \frac{1}{x}dx}$

(c) $\displaystyle \int{\frac{1}{x^2}dx}$

(d) $\displaystyle \int{\frac{x-3}{x^2-9}dx}$


Lösungen

(zu a)

$\displaystyle \int{2x^2+3x^3+4x^4 dx}=\frac{2}{3}x^3+\frac{3}{4}x^4+\frac{4}{5}x^5+C$

(zu b)

$\displaystyle \int{ \frac{1}{x}dx}=\ln(|x|)+C$

Probe:

(1) $x > 0 \Rightarrow \ln(|x|)=\ln(x)$; $(\ln(x))'=\displaystyle \frac{1}{x}$

(2) $x < 0 \Rightarrow \ln(|x|)=\ln(-x)$; $(\ln(-x))'=\displaystyle \frac{1}{x}$

(zu c)

$\displaystyle \int{\frac{1}{x^2}dx}=\int{x^{-2}dx}=-x^{-1}+C$; $-x^{-1}+C=-\displaystyle \frac{1}{x}+C$

(zu d)

$\displaystyle \int{\frac{x-3}{x^2-9}dx}=\int {\frac{x-3}{(x+3)(x-3)}dx}=\int{\frac{1}{x+3}dx}=\ln(|x+3|)+C$