Zugangsprüfung Mathematik

Thema: Beispiele Definitionsbereich

Darstellung auf einer höheren Ebene: Funktionen

(1) Die Funktion

$$f(x)=x$$

hat als Definitionsbereich die Menge aller reellen Zahlen x.

(2) Die Funktion

$$f(x)=\displaystyle \frac{1}{x}$$

hat als Definitionsbereich die Menge aller reellen Zahlen mit Ausnahme der Null.

(3) Die Funktion

$$f(x)=\sin x$$

hat als Definitionsbereich die Menge aller reellen Zahlen

(4) Die Funktion

$$f(x)=\cos x$$

hat als Definitionsbereich die Menge aller rellen Zahlen

(5) Die Funktion

$$f(x)=\displaystyle \frac{\sin x}{\cos x}$$

hat als Definitionsbereich die Menge aller reellen Zahlen, für die

$$\cos x \ne 0$$

gilt.

Es gilt:

$$\cos x = 0$$

für

$$x = \displaystyle \frac{\pi}{2}+k\pi$$

Dabei ist k eine beliebige ganze Zahl. Für diese Werte ist

$$\sin x \ne 0$$

Die Funktion f(x) bezeichnet man als

$$\tan x$$

(6) Die Funktion

$$f(x) = \sqrt{x}$$

hat als Definitionsbereich die Menge aller reellen Zahlen, die nicht negativ sind. Das sind alle positiven reellen Zahlen einschließlich der Null.

(7) Die Funktion

$$f(x)=\ln x$$

hat als Definitionsbereich die Menge aller positiven reellen Zahlen.

(8) Die Funktion

$$f(x) = \sqrt[3]{x}$$

hat als Definitionsbereich die Menge aller reellen Zahlen

z.B.gilt

$$\sqrt[3]{8}=2$$ $$\sqrt[3]{-8}=-2$$

Bemerkung zur dritten Wurzel aus einer negativen Zahl

Es gibt Autoren fachwissenschaftlicher Literatur und Lehrende, die dritte Wurzeln nur aus positiven reellen Zahlen zulassen. An der WHZ ist die dritte Wurzel aus einer negativen Zahl definiert.

Begründet wird diese Auffassung damit, dass die Potenzgesetze im Allgemeinen nur gelten, wenn die Basis einer Potenz eine positive reelle Zahl ist.

Der Term

$$x^{\alpha}$$

ist i.A. für beliebige reelle Zahlen nur definiert, wenn x > 0 gilt.