Zugangsprüfung Mathematik

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Krümmungsverhalten

Thema: Krümmungsverhalten

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Voraussetzungen:

Definitionsbereich D(f) und Wertebereich W(f) der Funktion f seien Teilmengen der reellen Zahlen.

Die Funktion f sei differenzierbar in D(f).

Das Krümmungsverhalten der Funktion f wird durch ihre zweite Ableitung beschrieben.

Definition:

Ist die zweite Ableitung in einem Teil des Definitionsbereiches kleiner als 0, so ist der Graph der Funktion dort rechtsgekrümmt.

Ist die zweite Ableitung in einem Teil des Definitionsbereiches größer als 0, so ist der Graph der Funkion dort linksgekrümmt.

Beispiel:

$f(x) = x^3, f'(x) = 3x^2; f''(x)=6x$

Es gilt

$f''(x) < 0$

für

$x < 0$

und

$f''(x) > 0$

für

$x > 0$

d.h. die Funktion

$f(x) = x^3$

ist linksgekrümmt für

$x > 0$

und rechtsgekrümmt für

$x < 0$

Bemerkung:

bei einem linksgekrümmten Funktionsgraphen nimmt die Steigung der Tangente zu, bei einem rechtsgekrümmten Funktionsgraphen nimmt die Steigung der Tangente ab.