Zugangsprüfung Mathematik

Thema: Einfache Kurvendiskussionen

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Eine Kurvendiskussion macht Aussagen über das Verhalten einer Funktion, insbesondere über den Verlauf ihres Funktionsgraphen.

In der Regel betrachtet man Funktionen, die mindestens dreimal differenzierbar sind

Über die Ableitungen der Funktion können Aussagen über den Verlauf des Funktionsgraphen gewonnen werden.

Mit Hilfe einer Kurvendiskussion bestimmt man Extremwerte, Wendepunkte, Nullstellen, Schnittpunkte mit der y-Achse, das Symmetrieverhalten und das Krümmungsverhalten einer Funktion.

Die erste und zweite Ableitung wird zur Bestimmung der Extremwerte benötigt.

Die dritte Ableitung braucht man zur Bestimmung der Wendepunkte.

Beispiel:

$$f(x)=2x^3-3x$$

(1) Extremwerte

$$f'(x)=6x^2-3 \text{ ; }f'(x)=0 \Rightarrow x^2=\frac{1}{2}$$ $$\text{ Kandidaten: } x_1=\sqrt{\frac{1}{2}}; x_2=-\sqrt{\frac{1}{2}}$$

Bilden der zweiten Ableitung:

$$f''(x)=12x \text{ ; } f''(x_1)>0 \text{ ; } f''(x_2) < 0$$ $$\text{ an der Stelle } x_1 \text{ liegt ein Minimum vor, an der Stelle } x_2 \text{ liegt ein Maximum vor. }$$

(2) Wendepunkte

Bestimmung der Werte x für

$$f''(x)=0$$ $$f''(x)=0 \Rightarrow x=0$$

Bilden der dritten Ableitung:

$$f'''(x) = 12$$

Es gilt

$$f'''(0) \ne 0$$

d.h. an der Stelle x = 0 liegt ein Wendepunkt vor.