Zugangsprüfung Mathematik

Thema: Linearfaktorenzerlegung

Eine höhere Ebene der Darstellung: Polynome

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Voraussetzungen an die Polynome Beispiele Gegenbeispiele Linearfaktoren Bedingung, unter denen eine Linearfaktorenzerlegung existiert Beispiel Gegenbeispiel Gemischtes Beispiel Linearfaktorenzerlegung für ein nicht normiertes Polynom

Voraussetzungen an die Polynome

Im folgenden werden nur Polynome betrachtet, die nicht konstant sind, d.h. sie enthalten mindestens einen Term

$$ax^n$$

mit

$$n \ge 1$$

und

$$a \ne 0$$

Weiter wird vorausgesetzt, dass für den Term

$$ax^n$$

mit

$$a \ne 0$$

und der höchsten natürlichen Zahl n gilt: a = 1. Solche Polynome werden auch als normierte Polynome bezeichnet.

Linearfaktorenzerlegungen werden zunächst nur für normierte Polynome betrachtet, die keine konstanten Polynome sind. Sie werden dann auf nicht konstante, nicht normierte Polynome erweitert.

Beispiele

(1)

$$f(x) = x$$

(2)

$$f(x) = x^2+2$$

(3)

$$f(x)=x^3+3x^2+2x+5$$

sind normierte Polynome und keine konstanten Polynome.

Gegenbeispiele

(1)

$$f(x)=3x^2+2x$$

(2)

$$f(x) =3$$

sind keine keine normierten Polynome.

(3) f(x) = 1 ist ein normiertes Polynom und ein konstantes Polynom.

Linearfaktoren

Ein Linearfaktor ist ein Ausdruck der Form

$$(x-x_1)$$

mit reellen Zahlen

$$x$$

und

$$x_1$$

Dabei wird

$$x_1$$

als Nullstelle der Funktion

$$f(x) = (x-x_1)$$

betrachtet.

Eine Linearfaktorenzerlegung eines normierten Polynoms P(x) existiert, wenn es sich vollständig als Produkt von Linearfaktoren darstellen lässt.

Bedingung, unter denen eine Linearfaktorenzerlegung existiert

Bemerkung:

Eine Linearfaktorenzerlegung eines normierten Polynoms existiert, wenn es keine Nullstellen im Bereich der komplexen Zahlen besitzt.

Bemerkung: ein Polynom n.ten Grades hat höchstens n reelle Nullstellen.

Beispiel

Das Polynom

$$P(x) = x^2+5x+6$$

hat die Nullstellen

$$x_1 = -2$$

und

$$x_2 = -3$$

Es hat die Linearfaktorenzerlegung

$$P(x) = (x+2)(x+3)$$

Gegenbeispiel

Das Polynom

$$x^2+1=0$$

hat keine reellen Nullstellen, aber die komplexen Nullstellen

$$x_1=i$$

und

$$x_2=-i$$

Für dieses Polynom gibt es keine Linearfaktorenzerlegung im Bereich der reellen Zahlen.

Gemischtes Beispiel

Das Polynom

$$P(x)=x^4+5x^3+7x^2+5x+6$$

lässt sich folgendermaßen darstellen:

$$P(x) = (x^2+5x+6)(x^2+1)$$

Dieses Polynom lässt sich nur teilweise in Linearfaktoren zerlegen, da der Term

$$x^2+1=0$$

eine solche Zerlegung nicht ermöglicht.

Es gilt:

$$P(x)=(x+2)(x+3)(x^2+1)$$

Linearfaktorenzerlegung für ein nicht normiertes Polynom

Das Polynom

$$P(x) = 2x^2+10x+12$$

ist kein normiertes Polynom.

Man kann es folgendermaßen umschreiben:

$$P(x) = 2(x^2+5x+6) = 2N(x)$$

mit dem normierten Polynom

$$N(x) = x^2+5x+ 6$$

Für N(x) gibt es die Linearfaktorenzerlegung

$$N(x)=(x+3)(x+2)$$

Somit kann man P(x) schreiben als

$$P(x) = 2(x+3)(x+2)$$