Zugangsprüfung Mathematik

Thema: Polynome

Darstellung auf einer höheren Ebene: Funktionen

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Definition eines Polynomes Beispiele Normierte Polynome Beispiel Linearfaktorenzerlegung von Polynomen

Definition eines Polynomes

Ein Polynom ist eine Summe von Funktionen der Form

$$f(x)=ax^{n}$$

mit reellen Zahlen

$$a$$

und ganzen Zahlen

$$n \ge 0$$

Definition: die höchste natürliche Zahl n, die in der Darstellung eines Polynoms als Potenz eines Terms

$$ax^n$$

mit

$$a \ne 0$$

vorkommt, heißt Grad des Polynoms.

Das Nullpolynom f(x) = 0 hat den Grad 0.

Beispiele

(1)

$$P(x) = 2x^3+3x^2+4x+7$$

ist ein Polynom vom Grad 3

(2)

$$f(x)=2$$

ist ein Polynom vom Grad 0

(3) Jede lineare Funktion der Form

$$f(x) = mx+n$$

mit reellenZahlen n,

$$m \ne 0$$

ist ein Polynom vom Grad 1

(3)

$$Q(x) = (x-2)(x-3)$$

ist ein Polynom; ausmultipliziert ergibt sich folgende Darstellung für Q(x):

$$Q(x)=x^2-5x+6$$

Normierte Polynome

Ein Polynom heißt normiert, wenn seine höchste Potenz den Faktor 1 hat

Beispiel

$$P(x) = x^4+3x^2+2x+7$$

ist ein normiertes Polynom

Polyome lassen sich unter bestimmten Bedingungen in Linearfaktoren zerlegen.

Linearfaktorenzerlegung von Polynomen

Link: Linearfaktorenzerlegung