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Zugangsprüfung Mathematik

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Artikel
Diskussion

Quadratische Ergänzung

Thema: Quadratische Ergänzung

Darstellung auf einer höheren Ebene: Quadratische Gleichungen

Beispiel 01:

die Gleichung

$x^2-x-6=0$

soll durch quadratische Ergänzung gelöst werden.

Es gilt:

$\left(x-\frac{1}{2}\right)^2=x^2-x+\frac{1}{4}$

Hieraus schließt man:

$x^2-x=\left(x-\frac{1}{2}\right)^2-\frac{1}{4}$

und

$x^2-x-6=\left(x-\frac{1}{2}\right)^2-\frac{1}{4}-6$

Aus

$x^2-x-6=0$

folgt somit

$\left(x-\frac{1}{2}\right)^2-\frac{1}{4}-6=0$

und hieraus

$\left(x-\frac{1}{2}\right)^2=\frac{25}{4}$

Hieraus folgen die beiden Gleichungen

$x-\frac{1}{2}=\frac{5}{2};\text{ }x=\frac{5}{2}+\frac{1}{2}=\frac{6}{2}=3$

$x-\frac{1}{2}=-\frac{5}{2};\text{ }x=-\frac{5}{2}+\frac{1}{2}=-\frac{4}{2}=-2$

Man erhält die beiden Lösungen

$x_1=3;x_2=-2$