Zugangsprüfung Mathematik

Thema: Quadratische Gleichungen

Link: Gleichungen; Index

Beispiel einer quadratischen Gleichung:

$$x^2-x-6=0$$

Eine quadratische Gleichung zeichnet sich dadurch aus, dass die unbekannte Größe x in zweiter Potenz vorkommt. Dies ist auch die höchste vorkommende Potenz von x.

Gegenbeispiel: die Gleichung 4x+3= 5 ist keine quadratische Gleichung.

Eine quadratische Gleichung hat höchstens 2 reelle Lösungen.

Beispiel:

$$x^2-x-6=0$$

hat die reellen Lösungen

$$x_1=3;x_2=-2$$

Für quadratische Gleichungen gibt es Lösungsformeln

Für eine quadratische Gleichung der Form

$$x^2+px+q=0$$

kann man die Lösungen formal folgendermaßen hinschreiben:

$$x_1=-\frac{p}{2}+\sqrt{\frac{p^2}{4}-q}$$ $$x_2=-\frac{p}{2}+\sqrt{\frac{p^2}{4}-q}$$

Unter der Bedingung

$$\frac{p^2}{4}=q$$

fallen die beiden Lösungen zusammen, da der Term unter der Wurzel den Wert Null ergibt.

Falls

$$\frac{p^2}{4}-q<0$$

gilt, gibt es keine reellen Lösungen der quadratischen Gleichung.

Beispiel:

Für das oben angegebene Beispiel

$$x^2-x-6=0$$

gilt:

$$p=-1;q=-6$$

Es folgt:

$$x_1=\frac{1}{2}+\sqrt{\frac{1}{4}+6}=3$$

und

$$x_2=\frac{1}{2}-\sqrt{\frac{1}{4}+6}=-2$$

Quadratische Ergänzung

Die quadratische Ergänzung ist eine Möglichkeit, die Lösungen einer quadratischen Gleichung zu bestimmen, ohne die Lösungsformel zu verwenden.

Quadratische Ergänzung

Weitergehende Referenzen

Das <<Inhaltsverzeichnis>> verweist auf den Ordner <<Gleichungen>>. Dort findet man Lösungsformeln für die quadratischen Gleichungen mit Übungsbeispielen. Ein Link zum <<Inhaltsverzeichnis>> ist in der <<Beschreibung zum Wiki>> angegeben.