Zugangsprüfung Mathematik

Thema: Stereometrie

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Die Stereometrie befasst sich mit dreidimensionalen Körpern im Raum.

Aufgaben der Stereometrie sind u.a. die Berechnungen von Volumina, Mantelflächen, Oberflächen von Körpern.

Gegenstände der Berechnung sind z.B. Würfel, Quader, Prismen, Pyramiden, Tetraeder, Oktaeder, Zylinder, Kugel.

Die Anforderungen der Zugangsprüfung legen nicht fest, welche Körperberechnungen vorkommen können.

Im folgenden werden einige grundlegende Körperberechnungen angegeben, die man nach meiner Einschätzung wissen sollte.

Würfel Quader Zylinder Kugel Gerader Kreiskegel

Würfel

Der Würfel habe die Kantenlänge a.

Volumen:

$$V = a^3$$

Oberfläche:

$$O=6a^2$$

Die Raumdiagonale im Würfel berechnet sich zu

$$d =a \sqrt{3}$$

Die Berechnung erfolgt durch zweimalige Anwendung des Satzes des Pythagoras.

Die Diagonale der Grundfläche berechnet sich zu

$$d=\sqrt{2a^2}=a\sqrt{2}$$

Die Raumdiagonale d berechnet man dann zu

$$d^2=a^2+(a\sqrt{2})^2=3a^2; d=a\sqrt{3}$$

Quader

Die Grundfläche sei ein Rechteck mit den Seitenlängen a,b.

Die Höhe des Quaders sei h.

Volumen: Grundfläche * Höhe

$$V=abc$$

Zylinder

Die Höhe des Zylinders sei h, der Grundkreis habe den Radius r.

Volumen: Fläche des Grundkreises * Höhe des Zylinders;

$$V = r^2 \pi h$$

Mantelfläche: Umfang des Kreises * Höhe des Zylinders:

$$M = 2 \pi r h$$

Eine beliebte Aufgabe ist in diesem Zusammenhang die Berechnung des Volumens eines Hohlzylinders.

Kugel

Volumen:

$$V=\frac{4}{3}r^3\pi$$

Oberfläche:

$$O=4 r^2 \pi$$

Gerader Kreiskegel

Volumen:

$$V = \frac{1}{3}r^2 \pi h$$