Elementare Funktionen

Funktionen

Diese Seite vermittelt einen Überblick über Funktionen, die im Rahmen der Zugangsprüfung angesprochen werden können. Es sind Funktionen, die im Studium ständig gebraucht werden. Für detailliertere Informationen verweise ich auf die Literaturhinweise dieses Kurses. Insbesondere sollte man sich mit der Differentiation dieser Funktionen vertraut machen. Auch die Integration der trigonometrischen Funktionen $y=\sin x$ und $y = \cos x$ sowie der Exponentialfunktion $y=e^x$ können Gegenstand der Zugangsprüfung sein.

Wichtige Klassen von Funktionen, die vorkommen können, sind Polynome, rationale Funktionen und trigonometrische Funktionen.

Diese Funktionenklassen werden im Wiki des Kurses beschrieben.

Allgemeine Beschreibung von Funktionen

Funktionen sind Vorschriften, die jedem Element aus einem Definitionsbereich genau ein Element aus einem Wertebereich zuordnen.

Definitionsbereich

Der Definitionsbereich einer Funktion ist die Menge der Werte, für die sie definiert ist.

Wertebereich

Der Wertebereich einer Funktion $y = f(x)$ ist die Menge aller Funktionswerte $y$, den die Funktion $f$ annehmen kann.

Für einen Wert $x$ aus ihrem Definitionsbereich nimmt die Funktion $f$ einen Wert $y$ aus ihrem Wertebereich an. Hierfür schreibt man auch $y = f(x)$

d.h. die Schreibweise $y = f(x)$ ist nicht immer eindeutig. Man muss aus dem Zusammenhang erkennen ob die Funktion $y = f(x)$ gemeint ist oder ihr Funktionswert $y$ an der Stelle $x$.

Wertetabellen

Die Zuordnung von Werten aus dem Definitionsbereich einer Funktion zu ihrem Wertebereich kann man mit einer Wertetabelle beschreiben. Hierfür werden einige Beispiele angegeben:

(1) Die Funktion $f(x)=x$

x	1	2	4	-3
y	1	2	4	-3

Die hinter dem Symbol x stehenden Zahlen sind aus dem Definitionsbereich der Funktion $f$, die hinter y stehenden Zahlen die entsprechenden Funktionswerte $f(x)$ aus dem Wertebereich der Funktion $f$.

Es gilt also $f(1)=1,f(2)=2,f(4)=4,f(-3)=-3 ...$

(2) Die Funktion $f(x)=\displaystyle \frac{1}{x}$

x	1	2	4	-3
y	1	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{4}$	$-\frac{1}{3}$

(1) Die Funktion $f(x)=\sin x$

x	0	$\frac{pi}{2}$	$\pi$	$\frac{3}{2}\pi$
y	0	1	0	-1

Aufgaben

Für die folgenden Funktionen sollen ihre Definitionsbereiche und Wertebereiche angegeben werden

(1) Die Funktion $f(x)=x$

(2) Die Funktion $f(x)=\displaystyle \frac{1}{x}$

(3) Die Funktion $f(x)=\sin x$

(4) Die Funktion $f(x)=\cos x$

(5) Die Funktion $f(x)=\displaystyle \frac{\sin x}{\cos x}$

(6) Die Funktion $f(x) = \sqrt{x}$

(7) Die Funktion $f(x)=\ln x$

(8) Die Funktion $f(x) = \sqrt[3]{x}$

Link: zu den Lösungen