Distributionen und ihre Anwendungen in der Analysis (Sommer 25)

Vorlesung: dienstags, 13:45-15:15 Uhr in C25.017 und donnerstags, 9:15-10:45 Uhr in C25.020
Übung: montags, 15:30-17:00 Uhr in C25.015

Das Ziel der Veranstaltung ist eine Einführung in die Theorie der Distributionen von Laurent Schwartz. Neben einem rigorosen Zugang zur Theorie werden Anwendungen aus verschiedenen Bereichen der Mathematik präsentiert, insbesondere (Systeme von) lineare Differentialgleichungen und Fourier-Analysis sowie aus der Physik. Die Motivation für Distributionen kommt aus dem Umstand heraus, dass nicht jede Funktion differenzierbar ist. Dieser Mangel wird durch die Theorie des Distributionen behoben; der Raum der Distributionen ist die kleinste Erweiterung des Raums der stetigen Funktionen, in dem Differentiation eines jeden Objekts möglich ist. In gewissem Sinn Verhalten sich Distributionen zu Funktionen wie die reellen Zahlen zu den rationalen.

Im Verlauf der Vorlesung werden wir uns mit grundlegenden Eigenschaften von Distributionen beschäftigen, elementare Operationen mit Distributionen kennen lernen und die Fourier-Transformation für temperierte Distributionen einführen. Darüber hinaus studieren wir den Faltungsbegriff für Distributionen, über den sog. nicht-lokale Operatoren definiert sind, die für vielfältige Anwendungen in den letzten Jahren immer mehr an Bedeutung gewonnen haben. Als Anwendung auf partielle Differentialgleichungen beschäftigen wir uns mit Fundamentallösungen und beweisen - so es die Zeit zulässt - den Satz von Malgrange-Ehrenpreis, nach dem jeder lineare partielle Differentialoperator mit konstanten Koeffizienten eine Fundamentallösung besitzt.

An Kenntnissen zur Teilnahme an der Veranstaltung werden lediglich gute Kenntnisse in linearer Algebra, mehrdimensionaler Analysis und Maßtheorie vorausgesetzt.