Math Ba WL10: Seminar Algebra (Darstellungstheorie SS26)

Das ist die OPAL Seite für den Kurs K0108-22025xS Wissenschaftliche Literatur - Klassische Themen (S) - Algebra im Sommersemester 2026. Das Seminar ist für Studierende im vierten Semester des Bachelor-Studiums. 

Das Seminar hat zwei Teile:

Vorträge 1-6: Darstellungstheorie von Köchern:

Vorträge 7-13: Darstellungstheorie von Gruppen

Literatur: Ralf Schiffler - Quiver Representations

Jean-Pierre Serre - Representations of finite groups

Voraussetzungen: Lineare Algebra: Lineare Abbildungen und Matrizen, Gauß-Verfahren, Basiswechsel, Diagonalisieren, Jordan-Normalform.

Beschreibung: Das Ziel von Darstellungstheorie ist algebraische Objekte mithilfe von Darstellungen (zusammengesetzt aus Vektorräumen und linearen Abbildungen) zu untersuchen. Die zwei Fragen, die sich stellen: Welche Darstellungen gibt es/wie stehen sie in Beziehung zueinander? Was sagen diese über das ursprüngliche Objekt aus?

Im ersten Teil werden wir Köcher anschauen (gerichtete Graphen, in denen Loops und parallele Kanten erlaubt sind). Eine Darstellung des Köchers ordnet jedem Knoten einen Vektorraum und jeder Kante eine lineare Abbildung zu. Wir lernen projektive, injektive und einfache Darstellungen kennen und beschreiben sie als Moduln über der Pfadalgebra. Als Highlight werden wir den Satz von Gabriel über unzerlegbare Darstellungen kennenlernen.

Im zweiten Teil untersuchen wir Darstellungen von endlichen Gruppen, sprich Vektorräume auf denen die Gruppe linear wirkt. In Analogie zu Teil 1 werden wir die Gruppenalgebra definieren und ihre Summanden untersuchen. Die wichtigsten Beispiele werden zyklische Gruppen, Diedergruppen und die symmetrische Gruppe sein.