Modul Math Ma PDENMW: Numerik mit PDGLn – Adaptive Finite-Elemente-Methoden [beendet]

Die klassische Finite-Elemente-Methode zur numerischen Lösung von partiellen Differentialgleichungen nutzt Triangulierungen, die überall gleich fein sind. Das kann eine große Verschwendung sein! Schlauer wäre doch, ein Gitter zu nehmen, das dort und nur dort hochaufgelöst ist, wo die Finite-Elemente-Lösung der Gleichung das auch erfordert. Dummerweise müsste man natürlich die Lösung schon kennen, um so ein Gitter zu konstruieren, und die hat man natürlich nicht. Das ganze kann also nicht funktionieren. Denkt man. Kurioserweise gibt es trotzdem Verfahren die gleichzeitig eine FE-Lösung und eine dazu passende Triangulierung erzeugen. Dazu muss wiederholt der aktuelle Fehler geschätzt, und die Triangulierung entsprechend umgebaut werden. Solche Verfahren funktionieren in der Praxis erstaunlich gut. Die Mathematikerin will aber natürlich wissen ob das Verfahren auch in der Theorie funktioniert, d.h. ob es Lösungen produziert die gegen die Lösung der Differentialgleichung konvergieren. Dass es das tut ist ein erstaunlich neues Resultat. Außerdem möchte sie wissen ob sich der Aufwand auch lohnt. Um das zu zeigen braucht man viele schöne Mathematik, mit Anleihen aus der Geometrie, der Funktionalanalysis, und der Komplexitätstheorie.