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Gleitlager

Grundlagen Geometrische Auslegung Betriebskennwerte Relatives Lagerspiel Relative Exzentrizität Schmierfilm-/Lagerspielkennzahl Bestimmung der Öl-Viskosität Reibleistung Wärmebilanz Schmierstoffdurchsatz Lager mit normaler Schmiertaschenanordnung Lager mit umlaufender Ringnut Beispielrechnung Hydrodynamische Spaltweite Reibungszahl, Reibmoment und Reibleistung Maximal mögliche Kühlleistung des Gehäuses Maximal zulässige Umgebungstemperatur

Grundlagen

Ausgehend von den folgenden Einflussfaktoren wird die Auslegung eines Gleitlagers grundsätzlich begonnen:

• Die Lagerkraft F,
• der Wellendurchmesser d_W,
• der Wellendrehzahl n_W und
• der maximal auftretenden Betriebstemperatur ϑ_B.

Geometrische Auslegung

Zuerst werden die geometrischen Lagermaße und der zu verwendende Werkstoff festgelegt, dabei bildet die Formel (1) dafür die Grundlage: $$\begin{equation} p≤p_{zul}~~(1) \end{equation}$$ Mit $$\begin{equation} p=\frac{F}{b ~ d}~~(2) \end{equation}$$ In Wechselwirkung stehen hierbei immer die zulässige Flächenpressung des Werkstoffes p_zul (vgl. Gelbes Heft T2) (1) und die im Lager vorliegende Pressung p, die über die Lagerbreite b und den Lagerdurchmesser d eingestellt werden. Durch die Passung zwischen Lager und Welle kann der Zusammenhang (3) angenommen werden: $$\begin{equation} d\approx{d_W}~~(3) \end{equation}$$ Es wird erkannt, dass über die Wahl der Lagerbreite b die Pressung p eingestellt wird. Zur Wahl der Lagerbreite wird die relative Lagerbreite b/d herangezogen, in Tabelle 1 wird eine grundsätzliche Orientierung zur Wahl der relative Lagerbreite gegeben. Im Allgemeinen werden Lager auch im Bereich von 0.2 … 1.5 ausgeführt, wobei die Grenzen eher für Sonderanwendungen zu betrachten sind. Da es infolge großer relativer Lagerbreiten u.a. zu gefährlich hoher Kantenpressung kommt, sind diese zu vermeiden.

Tabelle 1: Relative Lagerbreite (2)

Solang die Formel (1) nicht erfüllt ist, ist die Lagerbreite und ggf. der Gleitlagerwerkstoff anzupassen.

Betriebskennwerte

Weiterhin sind folgende Relativwerte für die Auslegung eines Radialgleitlagers zu bestimmen:

1. Relatives Lagerspiel
2. Relative Exzentrizität
3. Schmierfilm-/Lagerspielkennzahl

Relatives Lagerspiel

Das relative Lagerspiel ist definiert nach Formel (4) $$\begin{equation} ψ=\frac{s}{d}=\frac{d-d_W}{d}~~(4) \end{equation}$$ Dabei wird das Lagerspiel s als das Kleinst- oder Größstspiel der Spielpassung bezeichnet, es wird mit den Mittelwert aus beiden Werten die Rechnung fortgesetzt. Da ggf. die Lagertoleranzen nicht bekannt sind, kann mithilfe von Abb. 1 über die Wahl von Durchmesser und Lagerspiel auch umgekehrt die Spielpassung festgelegt werden.

Relative Exzentrizität

Durch die Rotation der Welle verlagert sich diese je nach Wellendrehzahl n_W um die Exzentrizität e. Womit auch die Schmierfilmhöhe verändert wird, vgl. Abb. 2. Die relative Exzentrizität ε ist allgemein nach Formel (5) beschrieben.

$$\begin{equation} ε=1-\frac{2~h_0}{d~ψ}=1-\frac{H}{S}~~(5) \end{equation}$$ Für die Wahl von der Schmierfilmhöhe ist die Tabelle 2 unter Beachtung von Durchmesser und der Umfangsgeschwindigkeit der Welle zu verwenden. Es ist dabei zu beachten, dass es sich bei den Werten um Erfahrungsrichtwerte handelt, diese sind nicht zu unterschreiten!

Tabelle 2: Erfahrungsrichtwerte für die kleinstzulässige minimale Schmierfilmdicke h_{0 min} (DIN 31652) (5)

Jedoch muss die mindestens erforderliche Schmierfilmhöhe stets größer sein als die Rauigkeiten von Welle und Lagerschale: $$\begin{equation} h_{0~min}=1.5~R_{Z~Welle}+0.5~R_{Z~Bohrung}+Formabweichungen~~(6) \end{equation}$$

Schmierfilm-/Lagerspielkennzahl

Die Schmierfilm- H bzw. die Lagerspielkennzahl S bildet den Ausgangspunkt für die Auswahl des Öls. Anhand von Abb. 3 wird die Schmierfilm-bzw. die Lagerspielkennzahl abgelesen. Weiterhin kann die Lagerspielzahl S aus der Sommerfeldzahl So berechnet werden. Im Anschluss ist über Formel (5) die Bestimmung der Schmierfilmkennzahl H möglich. Jedoch wird an dieser Stelle darauf nicht weiter eingegangen, da es sich um komplexe numerische Berechnungen handelt, siehe Quelle (2).

Bestimmung der Öl-Viskosität

Über die Schmierfilm- bzw. Lagerspielkennzahl wird die effektive dynamische Öl-Viskosität bestimmt. $$\begin{equation} S=ψ~\sqrt{\frac{p}{ω~η}}~~(7) \end{equation}$$ $$\begin{equation} H=\frac{2~h_0}{d}~\sqrt{\frac{p}{ω~η}}~~(8) \end{equation}$$ Somit ist die Öl-Viskosität nach Umstellen der Formeln (7) und (8) mit Formel (9) definiert: $$\begin{equation} η=\frac{ψ^2}{S^2}~\frac{p}{ω}=\frac{2~h_0}{H~d})~\frac{p}{ω}~~(9) \end{equation}$$ Mithilfe der Öl-Viskosität η und der Betriebstemperatur ϑ_B wird das Öl bestimmt, dass den Einsatzbedingungen entspricht, vgl. Abb. 4.

Reibleistung

Die Reibleistung des Gleitlagers ist der Ausgangspunkt für die Berechnung der Wärmebilanz und des Schmierstoffdurchsatzes. In Formel (10) wird diese definiert: $$\begin{equation} P_R=M_R~ω=μ~F~\frac{d}{2}~ω~~(10) \end{equation}$$ $$\begin{equation} μ=\frac{2~h_0}{d}~μ_r~~(11) \end{equation}$$ Der dazu notwendige relative Reibkoeffizient μ_r wird mit der relativen Lagerbreite b/d und der Lagerspielkennzahl S aus dem Diagramm in Abb. 5 abgelesen und in den Reibkoeffizient über Formel (11) umgerechnet.

Wärmebilanz

Durch den Betrieb eines Öl geschmierten Lagers erhöht sich die Temperatur so lange, bis die abgeführte Wärme in die Lagerumgebung genauso groß ist, wie die Reibleistung P_R. Dabei setzt sich dieser Wärmestrom aus zwei Anteilen zusammen. Über Lagergehäuse und Welle wird durch Konvektion der eine Teil des Wärmestroms (P_KA, Formel (13)) abgeführt, über den Schmierstoff der andere Anteil (P_V, Formel (15)). Hiermit ergibt sich die Wärmebilanz nach Formel (12). $$\begin{equation} P_R=P_{KA}+P_{\dot{V}}~~(12) \end{equation}$$ $$\begin{equation} P_{KA}=α~A_K~(ϑ_m-ϑ_U )~~(13) \end{equation}$$ $$\begin{equation} A_K=πDB+2~\frac{π~D^2}{4}~~(14) \end{equation}$$ Der durch Konvektion abgeführte Wärmestrom berechnet sich aus dem Produkt von effektiver Wärmeübergangszahl α, der wärmeabgebenden äußeren Oberfläche des Lagers A_K und der Differenz von mittlerer Lagertemperatur und Umgebungstemperatur. Die äußere Lageroberfläche ist abhängig von der Geometrie des Lagergehäuses. Für einfache zylindrische Lager ist Formel (14) anwendbar, wobei D bzw. B der Außendurchmesser bzw. die Breite des Gehäuses sind. Die effektive Wärmeübergangszahl bewegt sich im Bereich von α=15…20 W/(m² K). $$\begin{equation} P_{\dot{V}} =\dot{V}~ρ~c~(ϑ_a-ϑ_e)~~(15) \end{equation}$$ Der durch den Schmierstoff abgeführte Wärmestrom ist das Produkt aus Schmierstoffdurchsatz V ̇, raumspezifischer Wärme ρ c und der Differenz von aus- und eingehender Schmierstofftemperatur ϑ_a und ϑ_e. Der Schmierstoffdurchsatz wird ausführlich im folgenden Kapitel erläutert. Im Allgemeinen wird von zwei Sonderfällen (Formel (16)) bei der Auslegung ausgegangen. In diese wird die Formel (13) bzw. (15) eingesetzt und nach der Lagertemperatur ϑ_L umgestellt. $$\begin{equation} P_R=P_{KA}~~bzw.~~P_R=P_{\dot{V}} ~~(16) \end{equation}$$ $$\begin{equation} ϑ_L = \hat{ϑ}_m=ϑ_U+\frac{P_R}{α~A_K}~~bzw. ~~ϑ_L = \hat{ϑ}_a=ϑ_e+\frac{P_R}{\dot{V}~ρ~c}~~(17) \end{equation}$$ In beiden Fällen wird die vorliegende Lagertemperatur mit einem zulässigen Richtwert abgeglichen: $$\begin{equation} ϑ_L≤ϑ_{L~zul}~~(18) \end{equation}$$

Wenn eine natürliche Kühlung angedacht ist, d.h. es wird keine Schmierstoffkühlung vorgesehen, muss bei Übersteigen der zulässigen Lagertemperatur ein anderer Schmierstoff genutzt oder die Konstruktion angepasst werden, um die Bedingung (18) zu erreichen. Andernfalls ist eine zusätzliche Kühlung notwendig. Wird auch bei einer Rückkühlung des Schmierstoffes dies nicht erreicht, so ist eine umfassendere Kühlung notwendig, beispielsweise durch eine Vergrößerung der Lageroberfläche mittels Kühlrippen oder durch das Vorsehen eines Gebläses.

Schmierstoffdurchsatz

Ist es vorgesehen, dass auch der Schmierstoff einen Teil der Reibungswärme abführt, so ist der Schmierstoffdurchsatz V ̇ zu bestimmen. Dieser Volumenstrom hat zwei Anteile: Er entsteht durch die Bildung des Schmierkeils auf Grundlage der Theorie der hydrodynamischen Schmierung V ̇_K und infolge des Zuführungsdrucks V ̇_P. Somit lässt sich der Schmierstoffdurchsatz V ̇ durch Formel (19) beschreiben, seine Anteile werden durch die Formeln (20) und (21) gegeben. $$\begin{equation} \dot{V}=\dot{V}_K+\dot{V}_P~~(19) \end{equation}$$ $$\begin{equation} \dot{V}_K=ψ~ω~d^3~q_K~~(20) \end{equation}$$ $$\begin{equation} \dot{V}_P=\frac{ψ^3~d^4}{η~b}~q_P~~(21) \end{equation}$$ Zur Bestimmung des Anteils infolge der Keilwirkung V ̇_K kann für ein vollumschließendes Lager in Abb. 6 (siehe Gelbes Heft T4) der relative Schmierstoffdurchsatz unter den gegebenen Randwerten abgelesen oder über Formel (22) berechnet werden. $$\begin{equation} q_K=0,25~[(\frac{b}{d})-0,223~(\frac{b}{d})^3 ]~ε~~(22) \end{equation}$$

Der relative Schmierstoffdurchsatz infolge des Zuführungsdruckes ist abhängig von der Bauform des Lagers. Für zwei Bauformen wird hier die Berechnung vorgestellt (siehe Gelbes Heft T4), für weitere Formen sei auf die Quellen (3) bzw. (5) verwiesen.

Lager mit normaler Schmiertaschenanordnung

$$\begin{equation} q_P=k_2+(\frac{b}{d})^2~(\frac{c}{d})~(\frac{b}{a}-2)~k_3~~(23) \end{equation}$$

Lager mit umlaufender Ringnut

$$\begin{equation} q_P=\frac{π}{24}~(1+\frac{3}{2}~ε^2 )~~(24) \end{equation}$$

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Literatur

(1) INSTITUT FÜR MASCHINENELEMENTE, KONSTRUKTION UND FERTIGUNG. Arbeitsblattsammlung. Grundlagen der Konstruktion, Konstruktionslehre, 2018, T1 - T4.

(2) DECKER, K.-H. und F. RIEG, Hg. Maschinenelemente. Funktion, Gestaltung und Berechnung. 19., aktualisierte Aufl. München: Hanser, 2014. ISBN 9783446438569.

(3) WITTEL, H., D. JANNASCH, J. VOßIEK und C. SPURA. Roloff/Matek Maschinenelemente. 23., überarbeitete und erweiterte Auflage. Wiesbaden: Springer Vieweg, 2017. ISBN 9783658178956.

(4) GESELLSCHAFT KONSTRUKTION UND ENTWICKLUNG. VDI 2201: Gestaltung von Lagerungen. Einführung in die Wirkungsweise der Gleitlager. Düsseldorf: VDI, 1975. VDI-Richtlinien. 2201.

(5) Deutsches Institut für Normung. 31652-3, DIN 31652-3: Gleitlager – Hydrodynamische Radial-Gleitlager im stationären Betrieb – Teil 3: Betriebsrichtwerte für die Berechnung von Kreiszylinderlagern.  

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Beispielrechnung

Für ein hydrodynamisch geschmiertes Radiallager sind jeweils für das Größt- und Kleinstspiel zu bestimmen:

1. Hydrodynamische Spaltweite h₀;
2. Reibungszahl μ, Reibmoment M_R und Reibleistung P_R;
3. Maximal mögliche Kühlleistung des Gehäuses, wenn die Oberflächentemperatur ϑ_A = 70 °C beträgt;
4. Maximal zulässige Umgebungstemperatur, wenn die Reibleistung nur durch Oberflächenkühlung abgeführt wird.

Es sind dazu gegeben:

• Lagerkraft F = 25 kN
• Lagerdurchmesser d = 120 mm
• Passung des Lagersitzes H6/e6
• Lagerbreite b = 60 mm
• ÖL ISO VG 220
• Betriebstemperatur ϑ_B = 80 °C
• Umgebungstemperatur ϑ_U = 25 °C
• Wärmeübergangszahl α = 15 (N m)/(m² s K)
• Drehzahl n = 350 min^-1
• Gehäuseoberfläche A = 0,2 m²

Hydrodynamische Spaltweite

Über die Formel (5) wird die hydrodynamische Spaltweite berechnet. Dazu wird diese entsprechend umgestellt zu Formel (25):

$$\begin{equation} 1-\frac{2~h_0}{d~ψ}=1-\frac{H}{S} \end{equation}$$ $$\begin{equation} \frac{2~h_0}{d~ψ}=\frac{H}{S} \end{equation}$$ $$\begin{equation} h_0=ψ~\frac{d}{2}~\frac{H}{S}~~(25) \end{equation}$$

Zur Lösung der Teilaufgabe fehlen: das relative Lagerspiel, die Schmierfilm- und die Lagerspielkennzahl.

Bestimmung des Größst- und Kleinstspiels

Mittels der gegebenen Werten für das Passungssystem H6/e6und dem Lagerdurchmesser d werden zunächst die die oberen und unteren Abmaße für Bohrung bzw. Welle bestimmt (vgl. Abb. 10). Aus diesen wird nun das Kleinstspiel U_k- und Größstspiel U_g nach Formel (26) und (27) bestimmt.

$$\begin{equation} U_k=A_{uB}-A_{oW}~~(26) \end{equation}$$ $$\begin{equation} U_k=A_{oB}-A_{uW}~~(27) \end{equation}$$

Über Formel (4) wird nun das relative Lagerspiel bestimmt.

$$\begin{equation} ψ_k=\frac{U_k}{d}=\frac{0,072~mm}{120~mm}=0,0006 \end{equation}$$ $$\begin{equation} ψ_g=\frac{U_g}{d}=\frac{0,116~mm}{120~mm}=0,000967 \end{equation}$$

Bestimmung der Lagerspielzahl

Die Lagerspielzahl S wird bestimmt über Formel (7), vorab sind die Flächenpressung p (vgl. Formel (1)), die Wellenwinkelgeschwindigkeit ω und die Öl-Viskosität η zu bestimmen. Die Öl-Viskosität wird hierbei über Abb. 4 anhand der Viskositätsklasse (ISO VG 220) und der Betriebstemperatur (ϑ_B=80 °C) abgelesen.

$$\begin{equation} p=\frac{F}{b~d}=\frac{25000~N}{60~mm~120~mm}=3,472~\frac{N}{mm^2} \end{equation}$$ $$\begin{equation} η=31\bullet10^{-9}~\frac{N~s}{mm^2} \end{equation}$$ $$\begin{equation} ω=2~π~n=2~π~350~\frac{1}{min}~\frac{min}{60~s}=36,65~s^{-1} \end{equation}$$ $$\begin{equation} S_k=ψ_k~\sqrt{\frac{p}{ω~η}}=0,0006~\sqrt{\frac{3,472~\frac{N}{mm^2}}{36,65~s^{-1}~31\bullet10^{-9}~\frac{N~s}{mm^2} }}=1,049 \end{equation}$$ $$\begin{equation} S_g=ψ_g~\sqrt{\frac{p}{ω~η}}=0,000967~\sqrt{\frac{3,472~\frac{N}{mm^2}}{36,65~s^{-1}~31\bullet10^{-9}~\frac{N~s}{mm^2} }}=1,690 \end{equation}$$

Bestimmung der Schmierfilmzahl

Die Schmierfilmzahl wird mithilfe aus der Abb. 3 abgelesen über die relative Lagerbreite b/d und die Lagerspielzahl S: $$\begin{equation} \frac{b}{d}=\frac{60~mm}{120~mm}=0,5 \end{equation}$$ $$\begin{equation} H_k=0,28 \end{equation}$$ $$\begin{equation} H_g=0,255 \end{equation}$$

Bestimmung der hydrodynamischen Spaltweite

Nach Formel (25) wird abschließend die hydrodynamische Spaltweite berechnet:

$$\begin{equation} h_{0,k}=ψ_k~\frac{d}{2}~\frac{H_k}{S_k} =0,0006~\frac{120~mm}{2}~\frac{0,28}{1,049}=0,0096~mm \end{equation}$$ $$\begin{equation} h_{0,g}=ψ_g~\frac{d}{2}~\frac{H_g}{S_g} =0,000967~\frac{120~mm}{2}~\frac{0,255}{1,690}=0,00875~mm \end{equation}$$

Reibungszahl, Reibmoment und Reibleistung

Bestimmung der Reibungszahl

Ausgehend von der Lagerspielzahl S und der relativen Lagerbreite b/d wird aus Abb. 5 die relative Reibungszahl abgelesen und über Formel (11) die Reibungszahl berechnet.

$$\begin{equation} μ_{r,k}=15,5 \end{equation}$$ $$\begin{equation} μ_{r,g}=14 \end{equation}$$ $$\begin{equation} μ_k=\frac{2~h_{0,k}}{d}~μ_{r,k}=\frac{2\bullet0,0096~mm}{120~mm}~15,5=0,00248 \end{equation}$$ $$\begin{equation} μ_g=\frac{2~h_{0,g}}{d}~μ_{r,g}=\frac{2\bullet0,00875~mm}{120~mm}~14=0,00204 \end{equation}$$

Bestimmung der Reibleistung und Reibmoment

Die Reibleistung wird aus die bekannten Größen über Formel (10) berechnet:

$$\begin{equation} P_{R,k}=μ_k~F~\frac{d}{2}~ω=0,00248\bullet25000~N~\frac{120~mm}{2}~36,65~s^{-1}=136,3~W \end{equation}$$ $$\begin{equation} P_{R,g}=μ_g~F~\frac{d}{2}~ω=0,00204\bullet25000~N~\frac{120~mm}{2}~36,65~s^{-1}=112,1~W \end{equation}$$

Es wird festgestellt, dass die Reibleistung signifikant höher für das Kleinstspiel ist, als für das Größstspiel. Somit ist der Kleinstspiel-Fall als der kritische Fall zu verstehen und deshalb bei einer Auslegung (z.B. der Schmierstoffversorgung und dessen Kühlung) heranzuziehen und zu berücksichtigen.

Die Reibleistung wird nach Umstellen von Formel (10) bestimmt: $$\begin{equation} M_{R,k}=\frac{P_{R,k}}{ω}=\frac{136,3~W}{36,65~s^{-1}}=3,72~Nm \end{equation}$$ $$\begin{equation} M_{R,g}=\frac{P_{R,g}}{ω}=\frac{112,1~W}{36,65~s^{-1}}=3,06~Nm \end{equation}$$

Maximal mögliche Kühlleistung des Gehäuses

Die Kühlleistung des Gehäuses bei einer Oberflächentemperatur von ϑ_A=70 °C berechnet sich nach Formel (13), hierbei gilt Bedingung (I):

$$\begin{equation} ϑ_m=ϑ_A~~(I) \end{equation}$$ $$\begin{equation} P_{KA}=α~A_K~(ϑ_A-ϑ_U )=15~\frac{N~m}{m^2~s~K}~0,2~m^2~(70-25)~K=135~W \end{equation}$$

Maximal zulässige Umgebungstemperatur

Die Umgebungstemperatur ϑ_U, die sich bei Dauerbetrieb einstellt, wird durch die bereits berechnete Reibleistung verursacht. Zur Berechnung wird erneut Formel (13) herangezogen, die dazu umgestellt wird, hierbei gelten Bedingungen (II) und (III):

$$\begin{equation} P_{KA}=P_{R,k}~~bzw.~~P_{KA}=P_{R,g}~~(II) \end{equation}$$ $$\begin{equation} ϑ_m=ϑ_B~~(III) \end{equation}$$ $$\begin{equation} P_R=α~A_K~(ϑ_B-ϑ_U ) \end{equation}$$ $$\begin{equation} \frac{P_R}{α~A_K}=ϑ_B-ϑ_U \end{equation}$$ $$\begin{equation} ϑ_U=ϑ_B-\frac{P_R}{α~A_K} \end{equation}$$ $$\begin{equation} ϑ_{U,k}=ϑ_B-\frac{P_{R,k}}{α~A_K}=80~°C-\frac{136,3~W}{15~\frac{N~m}{m^2~s~K}~0,2~m^2}=34,6~°C \end{equation}$$ $$\begin{equation} ϑ_{U,g}=ϑ_B-\frac{P_{R,g}}{α~A_K}=80~°C-\frac{112,1~W}{15~\frac{N~m}{m^2~s~K}~0,2~m^2}=42,6~°C \end{equation}$$

Kategorien: Lagerberechnung