Zugangsprüfung Mathematik

Thema: Beispiel 02 zu einer Stammfunktion

Link: Integrationsregeln

Beispiel 02:

$$f(x)=\frac{1}{x} \text{ besitzt Stammfunktionen in den Intervallen } (-\infty;0) \text{ und } (0;\infty)$$

Es gilt

$$F(x)=\ln(|x|)$$

ist Stammfunktion von

$$f(x) = \frac{1}{x}$$

in beiden Intervallen.

F(x) ist damit eine Stammfunktion für f(x) auf R\{0}

R bezeichne die Menge der reellen Zahlen.

Beweis

Es sind die Fälle

$$x > 0 \text{ und } x < 0$$

zu betrachten. Man benötigt diese Fälle, um |x| auflösen zu können. Es gilt

$$|x| > 0 \text{ falls } x > 0 \text{ und } |x| = -x \text{ falls } x < 0$$

Sei

$$x > 0$$

Dann gilt für

$$F(x) = \ln(|x|); F(x) =\ln(x) \text{ und } F'(x) = \frac{1}{x}$$

Sei x < 0. Dann gilt für

$$F(x)=\ln(|x|);F(x)=\ln(-x) \text{ und } F'(x)=(-1)\frac{1}{(-x)}=\frac{1}{x}$$

Also gilt in beiden Fällen

$$F'(x)=f(x)$$

Damit ist F(x) Stammfunktion von f(x) sowohl für x > 0 als auch für x < 0.