Zugangsprüfung Mathematik

Thema: Integrationsregeln

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Unbestimmte Integration Satz über die Existenz einer Stammfunktion Integrationsregeln Weitergehende Beschreibungen und Übungen

Unbestimmte Integration

Es werden nur solche Integrationen betrachtet, für die folgendes gilt:

Ergebnis der Integration einer Funktion f(x) ist eine Stammfunktion F(x), die bis auf eine additive Konstante eindeutig bestimmt ist. Die Stammfunktion zeichnet sich dadurch aus, dass ihre Ableitung die integrierte Funktion ergibt.

$$\int {f(x)dx} = F(x)+C; F'(x)=f(x)$$

Dabei wurde verwendet, dass die Ableitung der Konstanten C den Wert 0 ergibt.

Vgl. hierzu auch die Integrationsregeln am Ende dieser Seite.

Satz über die Existenz einer Stammfunktion

Eine Funktion besitzt in allen Teilen ihres Definitionsbereiches eine Stammfunktion, in denen sie stetig ist.

Beispiel 01:

$$f(x) = x^2$$

ist definiert für alle reellen Zahlen x.

Behauptung:

Die Funktion

$$f(x)=x^2 \text{ hat die Stammfunktion } F(x) = \displaystyle \frac{x^3}{3}$$

für beliebige reelle Zahlen x.

Beweis:

es gilt

$$F'(x)= x^2$$

für alle reellen Zahlen x, also

$$F'(x) = f(x)$$

für alle reellen Zahlen x.

Hieraus folgt, die Funktion F(x) ist Stammfunktion von f(x) für alle reellen Zahlen x und es gilt:

$$\int {x^2 dx} = \displaystyle \frac{x^3}{3}+C$$

Vgl. hierzu auch die Differentiationsregeln; insbesondere die Differentiation von Potenzen (Potenzregel)

Link: Beispiel 02 zu einer Stammfunktion

Beispiel 02 behandelt die Ableitung des natürlichen Logarithmus ln(x) und das Auflösen von Beträgen.

Integrationsregeln

$$\int ({f(x)+g(x)})dx = \int{f(x)}dx+\int{g(x)}dx$$

Dabei wird die Integrierbarkeit von f(x) und g(x) vorausgesetzt.

$$\int{\alpha f(x)}dx=\alpha \int{f(x)}dx$$ $$\alpha$$

ist eine beliebige reelle Zahl.

Weitergehende Beschreibungen und Übungen

Das << Inhaltsverzeichnis >> verweist auf einen Ordner << Integrationsregeln >>. Einen Link auf das << Inhaltsverzeichnis >> findet man in der Beschreibung zum Wiki oberhalb dieser Seite.