Zugangsprüfung Mathematik

Thema: Beispiele Definitionsbereich und Wertebereich

Darstellung auf einer höheren Ebene: Funktionen

(1) Die Funktion

$$y = x$$

hat als Definitionsbereich die Menge aller reellen Zahlen und als Wertebereich die Menge aller reellen Zahlen.

für x = 1 nimmt die Funktion den Wert y = 1 an

für x = -5 nimmt die Funktion den Wert y = -5 an

(2) y = sin(x)

Die Funktion

$$y = \sin(x)$$

hat als Definitionsbereich die Menge aller reellen Zahlen und als Wertebereich die Menge der reellen Zahlen y für die gilt:

$$-1 \le y \le 1$$

Die Funktion ist periodisch mit der Periode

$$2\pi$$

d.h. es gilt

$$\sin(x+2\pi)=\sin(x)$$

für alle reellen Zahlen x.

Bemerkung zur Darstellung der Sinusfunktion

$$y= \sin(x)$$

schreibt man auch als

$$y = \sin x$$

oder

$$f(x) = \sin x$$

für x = 0 nimmt die Funktion den Wert y = 0 an, man schreibt hierfür f(0) = 0 oder sin(0) = 0.

für

$$x = \displaystyle \frac{\pi}{2}$$

nimmt die Funktion den Wert y = 1 an, man schreibt hierfür

$$\displaystyle f(\frac{\pi}{2})= 1$$

oder

$$\displaystyle \sin\left(\frac{\pi}{2} \right) =1$$

(3) Die Exponentialfunktion exp(x)

Die Funktion

$$y=e^x$$

hat als Definitionsbereich die Menge aller reellen Zahlen und als Wertebereich die Menge aller positiven reellen Zahlen.

Für

$$e^x$$

findet man auch die Schreibweise exp(x).

(4) Die trigonometrische Funktion tan(x)

Die Funktion

$$y = \tan x$$ $$\tan x=\displaystyle \frac{\sin x}{\cos x}$$

hat als Definitionsbereich die Menge aller rellen Zahlen, für die die Funktion

$$\cos x$$

von Null verschieden ist. Ihr Wertebereich ist die Menge aller reellen Zahlen.

Es gilt:

$$\cos x = 0$$

für

$$x = \displaystyle \frac{\pi}{2}+k\pi$$

Dabei ist k eine beliebige natürliche Zahl. Für diese Werte ist

$$\sin x \ne 0$$

(5) Die Wurzelfunktion

Die Funktion

$$y=\sqrt{x}$$

hat als Definitionsbereich die Menge aller nicht negativen reellen Zahlen und als Wertebereich die Menge aller nicht negativen reellen Zahlen.

(6) Die konstante Funktion

Die Funktion

$$f(x) = 1$$

hat als Definitionsbereich die Menge aller reellen Zahlen und als Wertebereich die Menge, die nur die Zahl 1 enthält.