Zugangsprüfung Mathematik

Thema: Extremwerte bei differenzierbaren Funktionen

Darstellung auf einer höheren Ebene: Extremwerte

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Bedingungen für die Existenz lokaler Extremwerte Notwendige Bedingung Hinreichende Bedingung Beispiel 4 Beispiel 5 Beispiel 6

Bedingungen für die Existenz lokaler Extremwerte

Im folgenden wird f als eine differenzierbare Funktion vorausgesetzt.

Die betrachteten Extrema sind für solche Funktionen lokal definiert, d.h. die Funktion wird daraufhin untersucht, ob sie lokale Maxima oder lokale Minima besitzt.

Diese Extremwerte können auch absolute Extrema sein. Das ist z.B. bei der Funktion

$$f(x)=x^2$$

der Fall.

Diese Funktion hat an der Stelle

$$x=0$$

ein absolutes Minimum.

Das Beispiel der Funktion

$$f(x)=x \sin x$$

zeigt, dass lokale Extrema nicht in jedem Fall absolute Extrema sein müssen.

Diese Funktion hat an der Stelle

$$x=0$$

ein lokales Minimum. Dieses Minimum ist kein absolutes Minimum der Funktion.

Notwendige Bedingung

Eine notwendige Bedingung für einen lokalen Extremwert f(x) an der Extremstelle x liegt vor, wenn

die erste Ableitung der Funktion an der Stelle x den Wert Null ergibt

$$f'(x) = 0$$

Hinreichende Bedingung

Eine hinreichende Bedingung für ein lokales Maximum an der Extremstelle x liegt vor, wenn die zweite Ableitung an der Stelle x einen Wert kleiner als Null ergibt

$$f''(x)<0$$

Eine hinreichende Bedingung für ein lokales Minimum an der Extremstelle x liegt vor, wenn die zweite Ableitung an der Stelle x einen Wert größer als Null ergibt

$$f''(x)>0$$

Beispiel 4

$$f(x)=x^2$$

Es gilt

$$f'(x)=2x; f'(x)=0 \Leftrightarrow x=0$$ $$f''(x)=2, f''(0)>0$$

An der Stelle x=0 liegt ein lokales Minimum vor.

Dass dieses lokale Minimum auch ein absolutes Minimum ist, muss durch zusätzliche Überlegungen begründet werden.

Beispiel 5

$$f(x)=2$$

Die Funktion ist definiert für alle reellen Zahlen x.

Der Funktionsgraph beschreibt eine parallele Gerade zur x-Achse durch den Punkt P(0,2).

Für diese Funktion gilt

$$f'(x) = 0$$

und

$$f''(x) = 0$$

für jede reelle Zahl x.

Die hinreichende Bedingung für Extrema ist für keine reelle Zahl x gegeben.

Die Funktion hat für jede reelle Zahl x ein absolutes Minimum

$$f(x) = 2$$

und ein absolutes Maximum

$$f(x) = 2$$

Beispiel 6

$$f(x)=x^4$$

Es gilt

$$f'(x)=4x^3, f''(x)=12x^2$$

und

$$f'(0)=0, f''(0)=0$$

d.h. die hinreichende Bedingung für ein lokales Extremum an der Stelle

$$x=0$$

ist nicht gegeben. Dennoch hat die Funktion an der Stelle

$$x=0$$

ein absolutes Minimum.