Zugangsprüfung Mathematik
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Extremwerte bei differenzierbaren Funktionen
Thema: Extremwerte bei differenzierbaren Funktionen
Darstellung auf einer höheren Ebene: Extremwerte
Inhalte dieser Seite
Bedingungen für die Existenz lokaler Extremwerte
Im folgenden wird f als eine differenzierbare Funktion vorausgesetzt.
Die betrachteten Extrema sind für solche Funktionen lokal definiert, d.h. die Funktion wird daraufhin untersucht, ob sie lokale Maxima oder lokale Minima besitzt.
Diese Extremwerte können auch absolute Extrema sein. Das ist z.B. bei der Funktion
der Fall.
Diese Funktion hat an der Stelle
ein absolutes Minimum.
Das Beispiel der Funktion
zeigt, dass lokale Extrema nicht in jedem Fall absolute Extrema sein müssen.
Diese Funktion hat an der Stelle
ein lokales Minimum. Dieses Minimum ist kein absolutes Minimum der Funktion.
Notwendige Bedingung
Eine notwendige Bedingung für einen lokalen Extremwert f(x) an der Extremstelle x liegt vor, wenn
die erste Ableitung der Funktion an der Stelle x den Wert Null ergibt
Hinreichende Bedingung
Eine hinreichende Bedingung für ein lokales Maximum an der Extremstelle x liegt vor, wenn die zweite Ableitung an der Stelle x einen Wert kleiner als Null ergibt
Eine hinreichende Bedingung für ein lokales Minimum an der Extremstelle x liegt vor, wenn die zweite Ableitung an der Stelle x einen Wert größer als Null ergibt
Beispiel 4
Es gilt
An der Stelle x=0 liegt ein lokales Minimum vor.
Dass dieses lokale Minimum auch ein absolutes Minimum ist, muss durch zusätzliche Überlegungen begründet werden.
Beispiel 5
Die Funktion ist definiert für alle reellen Zahlen x.
Der Funktionsgraph beschreibt eine parallele Gerade zur x-Achse durch den Punkt P(0,2).
Für diese Funktion gilt
und
für jede reelle Zahl x.
Die hinreichende Bedingung für Extrema ist für keine reelle Zahl x gegeben.
Die Funktion hat für jede reelle Zahl x ein absolutes Minimum
und ein absolutes Maximum
Beispiel 6
Es gilt
und
d.h. die hinreichende Bedingung für ein lokales Extremum an der Stelle
ist nicht gegeben. Dennoch hat die Funktion an der Stelle
ein absolutes Minimum.