Thema: Extremwerte
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Definition von Maxima und Minima
f sei eine Funktion mit Definitionsbereich D(f), a sei eine beliebige reelle Zahl.
Extremwerte der Funktion f werden nach Maxima und Minima unterschieden.
Unter einem Maximum a der Funktion f
versteht man einen Funktionswert
f(x0) mit f(x0)=a,x0∈D(f)
für den gilt:
f(x)≤a
für alle anderen
x∈D(f)
Ein Maximum ist nach dieser Definition der größte Funktionswert einer Funktion.
Man bezeichnet ein solches Maximum auch als absolutes Maximum.
Eine Gerade parallel zur x-Achse hat nach dieser Definition in jedem Punkt x ein Maximum.
Unter einem Minimum b der Funktion f
versteht man einen Funktionswert
f(x0) mit f(x0)=b,x0∈D(f)
für den gilt:
f(x)≥b
für alle anderen
x∈D(f)
Ein Minimum ist nach dieser Definition der kleinste Funktionswert einer Funktion.
Man bezeichnet ein solches Minimum auch als absolutes Minimum.
Eine Gerade parallel zur x-Achse hat nach dieser Definition in jedem Punkt x ein Minimum.
Beispiel 1
die Funktion
f(x)=x2 hat ein Minimum in x=0
Es ist f(0) = 0 und für
x≠0
gilt f(x) > 0.
Man spricht hier von einem absoluten Minimum, da
f(x)≥f(0)
für alle x aus dem Definitionsbereich der Funktion f gilt.
Beispiel 2
die Funktion
f(x)=sin(x) hat Minima für x=32π+2kπ
Dabei ist k eine beliebige ganze Zahl. Es gilt
sin(32π+2kπ)=−1
Die Minima sind in diesem Fall auch absolute Minima.
Lokale Maxima und lokale Minima
Falls die Bedingungen für Extrema für eine begrenzte Teilmenge des Definitionsbereiches gelten, spricht man von einem lokalen Maximum bzw. von einem lokalen Minimum.
Bemerkung:
In der Regel werden bei der Kurvendiskussion Funktionen auf die Existenz lokaler Maxima und Minima hin untersucht.
Falls die Formulierung einer Aufgabenstellung hinsichtlich der Existenz von Extrema nicht eindeutig ist, sollte man bei den verantwortlichen Betreuern nachfragen.
Beispiel 3
f(x)=x⋅sin(x)
Der nachfolgende Link verweist auf einen Ausschnitt der graphischen Darstellung dieser Funktion:
Media:xsinx.pdf
Die Funktion hat ein lokales Minimum an der Stelle
x=0
Dieses lokale Minimum ist kein absolutes Minimum.
Gegenbeispiel 01
Die Funktion
f(x)=x3 hat in x = 0 weder ein Maximum noch ein Minimum
Man spricht hier von einem Sattelpunkt in x = 0.
Media:xhoch3.pdf
Extremwerte bei differenzierbaren Funktionen
Link: Extremwerte bei differenzierbaren Funktionen