Zugangsprüfung Mathematik

Thema: Nullstellen und Pole rationaler Funktionen

Darstellung auf einer höheren Ebene: Rationale Funktionen

Inhalte dieser Seite

Definition einer rationalen Funktion r(x) Nullstellen von r(x) Polstellen von r(x) Beispiel Bestimmung der Nullstellen des Zählerpolynoms Bestimmung der Nullstellen des Nennerpolynoms Definitionslücken

Definition einer rationalen Funktion r(x)

Gegeben sei eine rationale Funktion r(x) in der Form

$$r(x)=\frac{u(x)}{v(x)}$$

mit Polynomen r(x) und v(x)

Nullstellen von r(x)

Nullstellen von r(x) sind Nullstellen von u(x), die nicht gleichzeitig Nullstellen von v(x) sind.

Polstellen von r(x)

Polstellen von r(x) sind Nullstellen von v(x), die nicht gleichzeitg Nullstellen von u(x) sind.

Für den Fall, dass Nullstellen von u(x) auch Nullstellen von v(x) sind, spricht man von Definitionslücken.
Definitionslücken müssen analytisch betrachtet werden.
Dabei können sich in Abhängigkeit von der Aufgabenstellung weitere Nullstellen oder Polstellen der rationalen Funktion ergeben.

Beispiel

$$\text{ Sei u(x) }=x^2+x-2 \text{ und } v(x)=x-2$$

dann gilt für

$$r(x)=\frac{u(x)}{v(x)}$$ $$r(x)=\frac{x^2+x-2}{x-2}$$

Bestimmung der Nullstellen des Zählerpolynoms

Für die Bestimmung der Nullstellen von u(x) wird die Lösungsformel für quadratische Gleichungen verwendet.

Es folgt:

$$x_1=1;x_2=-2$$

sind Lösungen der Gleichung

$$u(x)=0$$

Bestimmung der Nullstellen des Nennerpolynoms

$$\text{ Für } v(x)=0\text{ ergibt sich } x = 2 \text{ als Lösung }$$

Alle Nullstellen des Nenners v(x) sind von den Nullstellen des Zählers u(x) verschieden.

Es folgt:

$$x_1=1;x_2=-2$$

sind Nullstellen von r(x),

$$x_3=2$$

ist eine Polstellen von r(x).

Definitionslücken

man betrachte noch den Fall, dass nicht alle Nullstellen von u(x) von den Nullstellen von v(x) verschieden sind.

Dazu sei r(x) folgendermaßen modifiziert:

$$r(x)=\frac{x^2+x-2}{x+2}$$

Nun ist x = -2 sowohl Nullstelle des Nenners als auch Nullstelle des Zählers.

Die Stelle x = -2 ist eine Definitionslücke.

Man löst das Problem, indem man das Polynom im Zähler in Linearfaktoren zerlegt:

$$x^2+x-2 = (x-1)(x+2)$$

Es folgt dann

$$r(x)=\frac{(x-1)(x+2)}{x+2}$$

Den Term (x+2) kann man kürzen und es folgt r(x) = x-1.

Ergebnis: r(x) hat keine Polstellen und die einzige Nullstelle x = 1.