Zugangsprüfung Mathematik

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Quotientenregel

Thema: Quotientenregel

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Die Funktion f habe den Definitionsbereich D(f); die Funktion g habe den Definitionsbereich D(g).

D(f) und D(g) seien so gewählt, dass f und g differenzierbar sind in ihrem gemeinsamen Definitionsbereich

$D(f) \cap D(g)$

für alle

$x \in D(f) \cap D(g)$

mit

$g(x) \ne 0$

gilt dann gilt folgende Regel:

$\left(\frac{f(x)}{g(x)} \right)'=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{(g(x))^2}$

Beispiel:

$f(x)=\tan(x)$

Es gilt

$f(x)=\frac{\sin(x)}{\cos(x)}$

sin(x) und cos(x) sind für alle reellen Zahlen definiert. Es gilt cos(x)=0 für

$x = \frac{\pi}{2} + k\pi$

dabei ist k eine beliebige ganze Zahl

Für alle reellen Zahlen x, für die

$\cos(x) \ne 0$

gilt, folgt

$f'(x)=\frac{(\sin(x))'(\cos(x))-(\sin(x))(\cos(x))'}{(\cos(x))^2}$ $f'(x)=\frac{(\cos(x))^2+(\sin(x))^2}{(\cos(x))^2}=\frac{1}{(\cos(x))^2}$

Quotientenregel

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