Zugangsprüfung Mathematik

Thema: Symmetrie

Link: Einfache Kurvendiskussionen; Index

Eine Funktion f ist symmetrisch zur y-Achse, wenn für alle x aus dem Definitionsbereich der Funktion f gilt:

$$f(-x)=f(x)$$

Für den Definitionsbereich wird vorausgesetzt, dass er eine Teilmenge der reellen Zahlen ist und dass mit x auch -x zum Definitionsbereich von f gehört.

Beispiele:

(1) Die Funktion

$$f(x)=x^2$$

ist symmetrisch zur y-Achse

Beweis:

$$f(-x)=(-x)^2=x^2=f(x)$$

(2) Die Funktion

$$f(x)=\cos(x)$$

ist symmetrisch zur y-Achse

Beweis:

$$f(-x)=\cos(-x)=\cos(x)=f(x)$$

(3) Die Funktion

$$f(x) =|x|$$

ist symmetrisch zur y-Achse

Beweis:

$$f(-x)=|-x|=|x|=f(x)$$

Nicht symmetrisch zur y-Achse sind die Funktionen

(a)

$$f(x)=x^3$$

Gegenbeispiel zur Symmetrie bzgl. der y-Achse:

Es gilt

$$f(-1)=-1; f(1)=1$$

also

$$f(-1) \ne f(1)$$

(b)

$$f(x)=\sin(x)$$

Gegenbeispiel zur Symmetrie bzgl. der y-Achse:

Es gilt

$$f(-\frac{\pi}{2})=\sin(-\frac{\pi}{2})=-1; f(\frac{\pi}{2})=\sin(\frac{\pi}{2})=1$$

also

$$f(-\frac{\pi}{2}) \ne f(\frac{\pi}{2})$$