Vektoranalysis und gewöhnliche Differentialgleichungen

Vorlesung: Montags 15:30 - 17:00 Uhr in C10.005 und  Mittwochs 13:45-15:15 Uhr in C10.005

Übung: Mittwochs 15:30-17:00 Uhr in C25.015

Die Übung beginnt ab der zweiten Vorlesungswoche!

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Inhalt: Es werden die Grundlagen der Theorie der Untermannigfaltigkeiten und der gewöhnlichen Differentialgleichungen behandelt.

Eine m-dimensionale Untermannigfaltigkeit ist grob gesprochen ein (gekrümmter) Teilraum eines Euklidischen Raumes, der lokal m-dimensional aussieht. Man stelle sich etwa die Oberfläche der Einheitskugel vor: Obwohl dies zunächst eine Menge im dreidimensionalen euklidischen Raum ist, wird ein genügend kleiner Beobachter auf der Einheitskugel diese als 2-dimensionales Objekt empfinden. Das Hauptziel des ersten Teils der Vorlesung wird es sein, eine Integrationstheorie von Differentialformen auf glatt berandeteten Teilmengen solcher Untermannigfaltigkeiten zu entwickeln. Der sogenannte Satz von Stokes lässt sich dann als die allgemeinste Form einer partiellen Integrationsformel interpretieren, durch den sich alle in der Physik (Elektrodynamik) und Geometrie auftretetenden partiellen Integrationsformeln ableiten lassen.

Der zweite Teil der Vorlesung wird in die Theorie der gewöhnlichen Differentalgleichungen einführen. Während Differentialgleichungen nahezu jedes naturwissenschaftliche Problem modellieren, spielen sie als Flüsse auf Untermannigfaltigkeiten auch eine wichtige Rolle in der Geometrie.