Zugangsprüfung Mathematik

Thema: Differentialrechung

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Differenzierbarkeit Differenzierbare Funktionen in der Schulmathematik Definition der Differenzierbarkeit einer Funktion f Differentiationsregeln

Differenzierbarkeit

Gegenstand der Differentialrechung sind differenzierbare Funktionen.

Zur Differentialrechnung gehört die Analyse von Funktionsgraphen mit Hilfe von Kurvendiskussionen und das Lösen von Extremwertproblemen.

Zum Sprachgebrauch:

Beim Differenzieren einer Funktion bildet man die Ableitung einer Funktion.

Die Ableitung einer Funktion

$$f(x)$$

bezeichnet man mit

$$f'(x)$$

Differenzierbare Funktionen in der Schulmathematik

Definitionsbereich und Wertebereich differenzierbarer Funktionen sind in der Regel Teilmengen der reellen Zahlen.

Definition der Differenzierbarkeit einer Funktion f

Sei f eine Funktion, die reelle Zahlen auf reelle Zahlen abbildet und

$$x_0$$

ein Punkt aus dem Definitionsbereich D(f) der Funktion f.

Es wird vorausgesetzt, dass die Funktion f in einem offenen Intervall definiert ist, das den Punkt

$$x_0$$

enthält, und dass dieses offene Intervall eine Teilmenge des Definitionsbereiches D(f) der Funktion f ist.

Unter diesen Voraussetzungen heißt die Funktion f differenzierbar in

$$x_0$$

wenn folgender Grenzwert existiert:

$$\lim\limits_{x \rightarrow x_0}{\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}}$$

Der nachfolgende Link referenziert Regeln für das Differenzieren unterschiedlicher Klassen von Funktionen.

Differentiationsregeln

Link: Differentiationsregeln

Klassen von Funktionen, die in der Schulmathematik behandelt werden, sind z.B. Potenzen, Wurzeln, Potenzfunktionen, trigonometrische Funktionen, Exponentialfunktionen, Logarithmen (Link: Logarithmus)