Zugangsprüfung Mathematik

Thema: Potenzen

Links: Grundlagen; Index

Eine Potenz besteht aus einer Basis a und einem Exponenten x. Man schreibt sie in der Form

$$a^x$$

Für die Potenz

$$a^0$$

schreibt man 1. Dabei wird

$$a \ne 0$$

vorausgesetzt.

Im Bereich der reellen Zahlen ist eine Potenz nicht für beliebige reelle Zahlen a und x definiert.

Diese Thematik wird im folgenden Text behandelt.

Potenzen mit natürlichen Zahlen als Exponenten

Der einfachste Fall: x = n ist eine natürliche Zahl,

$$n \ge 1$$

Dann gilt:

$$a^1=a; a^2 = a \cdot a; a^3 = a \cdot a \cdot a$$

allgemein:

$$a^n$$

ist ein Produkt aus n Faktoren a

Diese Definition gilt für beliebige reelle Zahlen a.

Beispiel 1:

$$4^3= 4 \cdot 4 \cdot 4 = 64$$

Beispiel 2:

$$(-3)^3=(-3) \cdot (-3) \cdot (-3) = -27$$

Für Darstellungen der Form

$$a^{\frac{1}{n}}$$

vgl. den folgenden Link: Wurzeln

Potenzen mit rationalen Zahlen als Exponenten

Man kann die Definition einer Potenz auf rationale Exponenten erweitern.

Beispiele:

(1) Die Wurzel aus 2 ist folgendermaßen definiert:

$$\sqrt{2}=2^{\frac{1}{2}}$$

(2) Die dritte Wurzel aus 4 kann man folgendermaßen schreiben:

$$\sqrt[3]{4}=4^{\frac{1}{3}}=2^{\frac{2}{3}}$$

Seien n,m natürliche Zahlen, a > 0 eine reelle Zahl, dann gilt

$$a^{\frac{n}{m}}=\sqrt[m]{a^n}$$

Diese Definition wurde auf positive reelle Zahlen a eingeschränkt, da z.B. Ausdrücke der Form

$$(-1)^{\frac{1}{2}}$$

nicht definiert sind.